工科專業量子力學課堂教學探討

鐘志有，龍 浩

(中南民族大學 電子信息工程學院，湖北 武漢 430074)

1 引言

量子力學是研究微觀粒子運動規律的理論，它不僅是現代物理學的兩大基本支柱之一，而且在化學、生物學、材料學和宇宙學等有關學科和許多近代技術中得到了廣泛的應用[1～5]。量子力學是高等院校中光電專業的一門基礎課程，同時也是許多理工科專業的學科基礎必修課程之一。作為一門建立在公理體系上的科學，量子力學對初學者來說普遍感到物理概念生澀難懂、數學工具高深、課本難讀、習題難做，學習和掌握的難度很大[6～10]，因此，如何結合學生的實際，采取合適的教學方法使學生理解其物理思想，已經成為量子力學課堂教學中的一個重要課題。本文分別以一維線性諧振子和一維無限深方勢阱作為實例，闡述了類比方法和模擬分析在量子力學教學中的應用，調動了學生的學習積極性，提高了課堂教學的效果。

2 類比方法的運用

類比方法是根據兩個不同對象的部分屬性相似而推出這兩個對象其他屬性也可能相似的一種邏輯推理方法，它是一種從特殊到特殊的推理方法，是人類認識自然的重要方法[11～15]。類比方法不僅可以用于抽象概念的講授中，面且也可以用于Schr?dinger方程的求解。對于某些勢函數，其Schr?dinger方程可以通過一定的數學變換，化為能嚴格求解的Schr?dinger方程形式，將其解與已知的精確解進行類比，按照精確解的形式直接寫出相應的解[1,3]，特別是，這種方法很容易將相應的能級表示出來。

如果一維線性諧振子受到附加勢場的擾動[1]，其Hamilton算符可表示為：

(1)

對應的定態Schr?dinger方程為：

(2)

為了求解方程(2)，可以首先考慮沒有受到擾動的一維線性諧振子問題，這時其Hamilton算符為：

(3)

相應的定態Schr?dinger方程為：

(4)

(5)

式(5)中，x′=x-λ/(mω2)。由(5)看出，該問題仍然屬于一維線性諧振子，它的每一個能級都比未受擾動時線性諧振子的能級降低了λ2/(mω2)，同時其平衡點向右移動了λ/(mω2)[1]。通過類比方法容易得出，受到-λx擾動后的定態波函數和能級可以分別表示為：

ψ(x′)=Nne-α2x′2/2Hn(αx′)

(6)

(7)

由此可見，利用類比方法很容易得到受擾動后一維線性諧振子的定態波函數和能級表達式。

MATLAB模擬分析

MATLAB軟件不僅具有強大的數值計算能力和功能齊備的可視化能力，而且還具有簡單易學、運算效率高、應用范圍廣等特點[16～18]，是目前最為流行的一款數學工具軟件，它已經廣泛應用于各行各業的許多領域中[19～28]。本文中將MATLAB軟件應用于量子力學教學過程，大大激發了學生的學習興趣，提高了課堂教學的效率，起到了事半功倍的作用。

對于一維無限深方勢阱中的粒子[3]，其勢能如下：

(8)

在勢阱外，由于無限大，粒子不能運動到勢阱之外，所以其定態波函數。在勢阱內，，此時粒子的波函數滿足定態Schr?dinger方程：

(9)

根據波函數的連續性，可以得到粒子的分立能級和歸一化波函數分別如下：

(10)

(11)

對于一維無限深方勢阱中的電子，其質量為m=9.1×10-31kg，設勢阱寬度a=4 nm，利用MATLAB語言編寫程序，可以得到其波函數和概率密度曲線如圖1所示。由圖可見，粒子在勢阱中出現的概率因地而異，在阱壁處的概率為零；另外概率密度分布還隨量子數n而變化，模擬結果與理論分析完全相符[1,3]。

圖1量子數n為1、2和3時粒子的波函數和概率密度的曲線

4 結語

量子力學是中南民族大學光電專業的專業必修課程之一，針對學生量子力學學習中存在的困難，我們采用形式多樣的教學方法，激發了學生的學習興趣，提升了課堂教學水平，學習效果得到了明顯提高。然而這門課程的教學仍然存在教學手段單一、與生產實踐結合不緊密等問題，這些都有待于在今后教學中加以改進。