解析作差法在高中數學中的有效應用

江蘇省溧陽中學 彭婷奕

作差法指的是應用有理數或式子的減法運算來比較兩個有理數或式子的大小，因為是比較兩個有理數或式子A與B的大小，需先求出A與B的差，即A-B，再結合計算結果來判斷。作差法與作商法一樣，都是比較兩數或兩式大小的慣用方法，高中數學教師在日常教學中要結合具體題目展開教學，讓學生有效應用作差法來判斷兩個有理數或式子差的結果。

一、合理應用作差法，結合分類討論思想解題

作差法的步驟是先設要比較的式子A與B，作差：A-B；變形：對式子A-B進行化簡；判斷結果；得出結論A＞B，A=B或A＜B。在高中數學課程教學中，不少題目的解答都需要用到分類討論思想，教師需引導學生合理應用作差法結合分類討論思想解題，也就是將差式因式分解后，部分因式一些量的取值和符號有關，這就要用到分類討論思想判斷來符號。

在上述案例中，學生需對a的兩種情況進行分類討論，不過要注意確定分類的標準，堅持不遺漏、不重復的原則，最終通過合理分類對兩個式子進行作差判斷，從而得出結果。

二、恰當運用作差法，巧妙結合函數思想解題

在高中數學教學過程中，要想有效運用作差法來解題，教師可巧妙結合函數思想，即把兩個有理數或式子的差當作某一變量的函數，通過對函數解析式的變形與整理，結合函數知識判斷結果的符號。對此，高中數學教師在日常教學中，應該引領學生根據題設條件把所求的問題轉化為對某一函數性質的討論，再應用作差法處理題目，使問題得到解決。

比如：已知A=x2+4x，B=5x-3，試比較A和B的大小。

解答：兩式相減得出新函數f（x）=x2+4x-（5x-3）=x2-x+3=，即，也就是f（x）＞0，結果為A＞B。

再如：已知a∈R，x∈R，比較x2-x+1和-2a2-2ax的大小。

解答：兩式相堿得出f（x）=x2-x+1-（-2a2-2ax）=x2-x+1+2a2+2ax，化簡后得出x2+（2a-1）x+（2a2+1）。根據題意得知Δ=（2a-1）2-4（2a2+1）=-4a2-4a-3=-（2a+1）2-2 ＜ 0，由于 f（x）是二次函數，且圖像開口向上，那么f（x）＞0，則A＞B。

如此，學生通過作差法將這兩個例題中的式子相減，均得出關于x的二次函數，第一道題結合配方法求出函數的值域，對大小進行比較，第二道題則根據函數圖像的特征來比較大小。

三、正確使用作差法，運用劃歸轉化思想解題

劃歸與轉化思想其實就是把未知變為已知，將作差后的式子轉化為可以采用已知條件來判斷結果符號的因式。轉化方法通常是配方法與分解法；轉化結果一般是常數、部分因式的積、常數與一些平方和。所以，高中數學教師應當帶領學生將一些抽象問題轉變為具體問題，尋求抽象問題的解題規律，使其找到問題解決的方法與突破口，增強他們的學習自信。

如：已知x＞3，比較x3+3和3x2+x的大小。

解析：設x3+3=A，3x2+x=B，那么A-B=x3+3-（3x2+x）=x2（x-3）-（x-3），將式子化簡變形后轉化成（x-3）（x+1）（x-1），由于題目中給出x＞3，所以x-3＞0，x+1＞0，x-1＞0，則（x-3）（x+1）（x-1）＞0，即為x3+3＞3x2+x。

隨后組織學生反思：該道題目為確定差的符號，在變形中要用到因式分解，以此得出判斷結果；思維過程：無法做到直接判斷——轉化（難以確定差的符號）——轉化（判斷積的符號）——轉化（判斷積中因式的符號）。

針對上述案例，學生搭配劃歸與轉化的數學思想正確使用作差法，通過合理轉化將題目中的因式由減法變成乘法，以此開闊解題思路和活化思維，快速求出正確答案。

總而言之，在高中數學教學活動中，教師需充分意識到作差法對解題的作用和效果，輔助學生學會正確應用作差法來解題，并科學融合分類討論、函數、劃歸與轉化等數學思想，傾力培養思維能力和解題能力，使其掌握更多的解題技巧和規律，構建高效的數學課堂，讓學生實現可持續發展。