深度探究深度發現
——一節習題指導課的教學與思考

李啟珍

【教學內容】

人教版五年級上冊第41 頁第9 題。

【教學過程】

一、設置懸念，導入習題

師：（出示下面九道口算題）同學們，前面我們已經學習了小數除法，下面這九道算式你們能口算嗎？請大家試一試。

6.8÷0.1 9.6÷0.01 0.369÷0.001

0.9÷0.2 2.13÷0.5 0.2÷0.25

9÷2.5 3÷0.125 0.1÷1.25

（學生開始試算）

師：同學們，這些算式你們會口算嗎？

生：（有些遲疑）不會。

師：你們覺得難在哪兒了？

生：小數除法不便于口算。

師：這幾道小數除法算式到底好不好口算，請大家看看老師口算。

（教師依次又對又快口算出各題）

生：老師好棒的！

師：老師并不棒，真正棒的是一種口算方法。如果你們掌握了這種口算方法，你們也能像老師一樣又對又快的口算這些題。你們想知道這種口算的方法嗎？

生：想！

師：練習完課本第41 頁第9 題后，我們就都能知道這種口算方法了。

【教學思考：嘗試口算時，學生表現出束手無策，產生了心理疑惑；教師示范口算后，瞬間喚醒了學生的探究熱情，點燃了學生的發現動力。】

二、圍繞習題，展開探究

1.獨立計算。

師：請計算課本第41 頁第9 題中各題的得數。

（一會后請學生依次說出各題的計算結果）

生：6.8÷0.5＝13.6 4.2÷0.25＝16.8

6.8×2＝13.6 4.2×4＝16.8

2.1÷0.2＝10.5 1.9÷0.1＝19

2.1×5＝10.5 1.9×10＝19

2.探索發現。

（1）第一次探索發現。

師：做完這些計算題后，你有什么發現？

（小組討論后全班交流）

生：我們小組發現，這八道算式應該分為四組，其中上、下兩道算式為一組，每組算式中兩道算式的計算結果分別相同。

師：這個小組的發現是正確的嗎？

生：完全正確。

師：你們還有別的發現嗎？

生：沒有了。

師：如果僅有這樣的發現，我們能口算前面的九道算式嗎？

生：不能。

【教學思考：課前，筆者就“這道習題能有什么發現？”調查了五年級部分數學教師和學生，被調查的多位教師和學生認為只能發現“每組算式中兩道算式的計算結果分別相同”。筆者認為，這里的發現不是發現的終止，而僅僅只是發現的開始。】

（2）第二次探索發現。

師：觀察每組算式的結果，我們有了第一次的發現。每組算式的結果為什么會相同呢？請同學們帶著這個問題去探究，我們一定會有新的發現。

（再次小組討論后全班交流）

生：在第一組算式中，因為6.8÷0.5＝13.6、6.8×2＝13.6，所以可以發現6.8÷0.5＝6.8×2。以此類推，在第二、三、四組算式中，我們可以發現4.2÷0.25＝4.2×4，2.1÷0.2＝2.1×5，1.9÷0.1＝1.9×10。

師：根據每組算式中的計算結果相同，我們發現每組中的兩道算式相等。如果不看計算結果，我們能知道這四組算式為什么會分別相等嗎？

生：之所以6.8÷0.5＝6.8×2，是因為6.8÷0.5＝（6.8×2）÷（0.5×2）＝（6.8×2）÷1＝6.8×2。

生：之所以4.2÷0.25＝4.2×4，是因為4.2÷0.25＝（4.2×4）÷（0.25×4）＝（4.2×4）÷1＝4.2×4。

生：之所以2.1÷0.2＝2.1×5，是因為2.1÷0.2＝（2.1×5）÷（0.2×5）＝（2.1×5）÷1＝2.1×5。

生：之所以1.9÷0.1＝1.9×10，是因為1.9÷0.1＝（1.9×10）÷（0.1×10）＝（1.9×10）÷1＝1.9×10。

師：我們能把這些發現進行歸納和提煉嗎？

生：在剛才的發現中，我們為了把一道除法算式轉化成一道與它計算結果相等的乘法算式進行計算，只需要找到一個與除數相乘為1 的數，然后根據商不變的性質，將被除數和除數分別乘這個數就行了。

師：同學們太棒了，有了這么精彩的發現。有了這樣的新發現，我們能口算前面的九道算式嗎？

生：（滿懷信心的）能！

師：下面我們就用開火車的形式口算這九道算式，并說出口算的轉化過程。

生：6.8÷0.1＝6.8×10＝68。

生：9.6÷0.01＝9.6×100＝960。

生：0.369÷0.001＝0.369×1000＝369。

生：0.9÷0.2＝0.9×5＝4.5。

生：2.13÷0.5＝2.13×2＝4.26。

生：0.2÷0.25＝0.2×4＝0.8。

生：9÷2.5＝9×0.4＝3.6。

生：3÷0.125＝3×8＝24。

生：0.1÷1.25＝0.1×0.8＝0.08。

【教學思考：“每組算式的結果為什么會相同呢？”這一問題的提出，把探究活動引向了深度；將不便口算的除法轉化為等值的便于口算的乘法進行計算，使探究發現具有了深度；用開火車的形式排除懸念，凸顯了探究發現是為了簡化計算的價值所在，同時也讓學生收獲了滿滿的成就感。】

（3）第三次探索發現。

師：經過前面的探索發現，我們能將課初的九道除法算式轉化為乘法算式進行口算了。大家還有什么疑問嗎？

生：老師，是不是所有的兩個數相除都可以轉化成兩個數相乘后進行口算呢？

師：這個問題很有探究價值。請大家想想看，是不是所有的兩個數相除都可以轉化成兩個數相乘后進行口算呢？

生：不是的。例如2.9÷0.35，我們很難找到一個與0.35 相乘得1、10 或100 的數，我們就無法把2.9÷0.35 轉化成2.9 乘多少來口算了。

師：正如這個同學所說，并不是所有的兩個數相除都可以轉化為兩個數相乘后進行口算的。兩個數相除，只有當我們一眼就能看出除數和哪個數相乘得1、10 或100 時，我們才這樣將除法轉化為乘法進行口算。

【教學思考：對“除轉乘”口算方法適用的對象探究，排解了學生心中的疑惑，避免了教學不應該造成的誤導。三次探究發現，一次比一次有深度，一次比一次有價值。】

三、拓展練習，熟練方法

1.填一填。

3.5÷0.1＝3.5×（ ）＝（ ）

4.1÷0.2＝4.1×（ ）＝（ ）

1.23÷0.5＝1.23×（ ）＝（ ）

0.8÷0.25＝0.8×（ ）＝（ ）

0.11÷0.125＝0.11×（ ）＝（ ）

2.連一連。

0.12÷0.1 0.12×4

0.12÷0.5 0.12×10

0.12÷0.25 0.12×2

0.12÷0.025 0.12×8

0.12÷0.125 0.12×40

3.算一算。

0.102÷0.5＝ 12÷0.05＝

0.102÷0.25＝ 12÷0.025＝

0.102÷0.125＝ 12÷0.0125＝

【教學思考：三個層面的練習設計，主要著眼于“除轉乘”口算方法的熟練和運用。“填一填”，突出訓練“除轉乘”中“甲數除以乙數等于甲數乘丙數”，如何找到合適的“丙數”的找數方法；“連一連”，突出訓練“除轉乘”中除法算式與乘法算式相等的判斷方法；“算一算”，突出訓練“除轉乘”中快速簡捷的口算方法。】

四、總結評價，回顧提升

師：通過這節習題指導課，你有什么收獲？

生：我感受到除法的計算方法并非枯燥呆板，而是妙趣橫生、靈活多樣的。

生：我感受到探究永無止境。原來我們遇到這樣的練習題，只是簡單地發現算式的結果相等，這節課我們還從中發現了“除轉乘”的巧算方法。