導(dǎo)函數(shù)的混合還原類型及應(yīng)用

■江蘇省通州高級中學(xué)

對于一個含有函數(shù)f(x)與其導(dǎo)函數(shù)f'(x)混合的不等式問題,多數(shù)同學(xué)對其感到困惑,難以有效切入,導(dǎo)致解題思路受阻,造成解題障礙或失敗。解決此類導(dǎo)函數(shù)的混合還原問題,往往需要構(gòu)造新函數(shù),并根據(jù)題意判斷新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號,通過單調(diào)性的判斷來加以變形與解決。因此,正確還原出原函數(shù)(即新函數(shù)),便成為破解此類導(dǎo)函數(shù)的混合還原問題的關(guān)鍵,也體現(xiàn)了函數(shù)考查的基礎(chǔ)性、靈活性與規(guī)律性等。

一、線性運算型

對于題設(shè)條件或所求結(jié)論中給出形如f'(x)±g'(x),f'(x)g(x)±f(x)g'(x)等的結(jié)構(gòu)式,往往通過構(gòu)造兩個對應(yīng)函數(shù)的加(或減)、乘(或除)的線性運算型的新函數(shù)F(x)=f(x)±g(x),F(x)=f(x)g(x)來分析與解決問題。

例1(多選題)定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且f'(x)＜,則對任意的x1,x2∈(0,+∞),其中x1≠x2,下列不等式中一定成立的是( )。

A.f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2)

B.f(x1)+f(x2)＜·f(x2)

D.f(x1x2)＜f(x1)f(x2)

取f(x)=1,符合題意,此時f(x1x2)=f(x1)f(x2)=1,故選項D 錯誤。

故選擇答案:ABC。

點評:正確構(gòu)建與導(dǎo)函數(shù)的混合還原類型相吻合的新函數(shù),通過求導(dǎo)處理,結(jié)合新函數(shù)的單調(diào)性來進(jìn)一步展開與轉(zhuǎn)化。此類以多選題創(chuàng)新題型出現(xiàn),經(jīng)常要對新函數(shù)的單調(diào)性加以多視角變形與轉(zhuǎn)化,有時還要結(jié)合一般特殊函數(shù)的構(gòu)建,以特殊值的形式來判斷選項的錯誤性等問題。

二、方冪型

對于題設(shè)條件或所求結(jié)論中給出形如xf'(x)±nf(x)等的結(jié)構(gòu)式,往往通過構(gòu)造一個對應(yīng)函數(shù)與xn的乘(或除)的方冪型的新函數(shù)F(x)=xnf(x)（或F(x)=）來分析與解決問題。

例2設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(-∞,0)上的可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且滿足3f(x)+xf'(x)＞0,則不等式(x+2 023)3·f(x+2 023)+8f(-2)＞0 的解集是_____。

解析：根據(jù)題意,構(gòu)造新函數(shù)g(x)=x3f(x)(x＜0),則g'(x)=3x2f(x)+x3f'(x)=x2[3f(x)+xf'(x)]＞0,所以函數(shù)g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增。

又不等式(x+2 023)3f(x+2 023)+8f(-2)＞0 等價于(x+2 023)3f(x+2 023)＞(-2)3f(-2),即g(x+2 023)＞g(-2),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得-2＜x+2 023＜0,解得-2 025＜x＜-2 023。

故填答案:(-2 025,-2 023)。

點評:準(zhǔn)確構(gòu)建與題設(shè)條件相吻合的新函數(shù)是解決導(dǎo)函數(shù)的混合還原類型問題的根本所在,需要同學(xué)們必須掌握一些基本類型,并構(gòu)建與題設(shè)相吻合的新函數(shù)。同時還要注意合理變形與轉(zhuǎn)化所求的不等式,使得題設(shè)條件與所求結(jié)論之間是相吻合的。

三、指數(shù)型

對于題設(shè)條件或所求結(jié)論中給出形如f'(x)±f(x)等的結(jié)構(gòu)式,往往通過構(gòu)造一個對應(yīng)函數(shù)與ex(或其他指數(shù)函數(shù))的乘(或除)的指數(shù)型的新函數(shù)F(x)=exf(x)（或F(x)=）來分析與解決問題。

例3定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)＞1-f'(x),f(0)=0,f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則不等式exf(x)＞ex-1(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為( )。

A.(0,+∞)

B.(-∞,-1)∪(0,+∞)

C.(-∞,0)∪(1,+∞)

D.(-1,+∞)

解析：依題意f(x)＞1-f'(x),可得f(x)+f'(x)-1＞0。構(gòu)造新函數(shù)g(x)=exf(x)-ex,則g(0)=e0f(0)-e0=-1,g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1]＞0,故函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增。

又不等式exf(x)＞ex-1 等價于exf(x)-ex＞-1,即g(x)＞g(0),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得x＞0。

故選擇答案:A。

點評:在構(gòu)建新函數(shù)時,要結(jié)合題設(shè)條件中關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征加以合理構(gòu)建,有時還要進(jìn)行必要的線性運算處理,注意細(xì)節(jié),合理配湊,構(gòu)建與題設(shè)條件相吻合的抽象函數(shù),使之更準(zhǔn)確地還原導(dǎo)函數(shù)的本質(zhì)與運算性質(zhì)。

四、對數(shù)型

對于題設(shè)條件或所求結(jié)論中給出形如f(x)與lnx(或其他對數(shù)函數(shù))的乘除組合等的結(jié)構(gòu)式,往往通過構(gòu)造一個對應(yīng)函數(shù)與lnx的乘(或除)的對數(shù)型的新函數(shù)來分析與解決問題。

例4已知定義在[e,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)+xf'(x)lnx＜0,且f(2 023)=0,其中f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),e是自然對數(shù)的底數(shù),則不等式f(x)＞0的解集為( )。

A.[e,e+1) B.[e,2 023)

C.[2 023,+∞) D.(e,+∞)

解析：根據(jù)題意,構(gòu)造新函數(shù)g(x)=f(x)lnx(x≥e),此時有g(shù)(2 023)=f(2 023)ln 2 023=0,lnx≥1＞0,則g'(x)=f'(x)lnx+＜0,所以函數(shù)g(x)在[e,+∞)上單調(diào)遞減。

又不等式f(x)＞0等價于f(x)lnx=g(x)＞0,即g(x)＞g(2 023),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得e≤x＜2 023。

故選擇答案:B。

點評:在解決與抽象函數(shù)相關(guān)的導(dǎo)函數(shù)的還原對數(shù)型問題時,涉及函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解集等相關(guān)問題,在具體的解題過程中,還要特別注意函數(shù)的定義域,在函數(shù)的定義域內(nèi)加以分析與應(yīng)用。

五、三角函數(shù)型

對于題設(shè)條件或所求結(jié)論中給出形如f(x)與sinx或cosx乘除組合等的結(jié)構(gòu)式,往往通過構(gòu)造一個對應(yīng)函數(shù)與sinx或cosx的乘(或除)的三角函數(shù)型的新函數(shù)來分析與解決問題。

故選擇答案:C。

點評:聯(lián)系已知題目條件和結(jié)論,還原導(dǎo)函數(shù)的本質(zhì),正確構(gòu)建與三角函數(shù)相關(guān)的抽象函數(shù)是解決問題的關(guān)鍵。特別地,在解一些復(fù)雜的不等式問題時,要合理根據(jù)新構(gòu)建的函數(shù)及對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換所求不等式的“形狀”,從而準(zhǔn)確構(gòu)建題設(shè)與結(jié)論之間的有機(jī)聯(lián)系,實現(xiàn)無縫鏈接。

解決導(dǎo)函數(shù)的混合還原問題,先在明確題設(shè)條件中關(guān)系式或不等式的實質(zhì),結(jié)合函數(shù)f(x)與其導(dǎo)函數(shù)f'(x)混合的關(guān)系式或不等式的結(jié)構(gòu)特征,對問題的條件和結(jié)論進(jìn)行對比、概括,合理數(shù)學(xué)抽象,判斷對應(yīng)的函數(shù)類型與代數(shù)運算的基本性質(zhì),準(zhǔn)確構(gòu)建出吻合題設(shè)條件的新函數(shù),為進(jìn)一步的問題分析與應(yīng)用奠定基礎(chǔ),也是解決此類問題的關(guān)鍵點和難點所在。