《高等代數》課程教學改革實踐與認識

孫水玲

【摘? 要】數學課程改革是數學教育改革的核心。文章通過作者多年的教學實踐，針對高等代數課程教學中存在的諸如教學內容結構、教學手段方法等問題，以實踐為基礎，以教材為依托，以學生為主體，從教材內容、教學方法和教學手段方面進行思考與探索。

【關鍵詞】高等代數;教學手段;教學方法;教學改革

引言

高等代數不僅是中學代數的延拓，也是現代數學的基礎。它是理科生必修的一門重要基礎理論課程。本課程的教學目標是通過該門課程的教學使學生掌握高等代數的基本概念，基礎理論和基本方法，為后繼課程打下堅實的基礎;同時通過本課程的教學使學生領會代數學的基本思想，學會將實際問題代數化，培養學生運用高等代數知識解決實際問題的能力。然而由于本課程概念多，內容抽象，理論性強，思維方式獨特，學生普遍反映難學。說它難學有課程的客觀原因，同時也有學生的主觀因素，剛入學的大學生往往不能盡快適應大學的學習環境和特點，普遍缺乏大學的學習方法、策略以及思維技能，這給他們的學習帶來很大的困難。為此，我們做了下列改進。

1.合理安排教學內容，有助于增強學習興趣

眾所周知，高等代數與線性代數最大的區別之一就是高等代數增加了多項式的內容，這部分內容邏輯性強，抽象度高，而多數教材，往往會把這一內容安排在第一章，初學者對內容的抽象感無所適從，畏難情緒從第一課就開始了。如何處理這種情況？從內容的銜接上來看，多項式與隨后的行列式、線性方程組、矩陣、二次型這些內容沒有關聯，到線性變換章節需要用它的時候卻相隔甚遠，如果把多項式放與線性空間內容相連，無論是從內容的銜接還是從學生的接受程度來講，都是比較恰當的。此外，行列式、線性方程組內容相對簡單易學，這樣完成從初等數學到高等數學的過度，跳躍不大。教學實踐表明，這樣的內容調整學生學起來感到輕松自然，學習效果有明顯改善。

我們知道，行列式與矩陣是兩個截然不同的概念，但由于它們有著千絲萬縷的聯系，學生很容易混淆。有些課本中是將矩陣的初等變換內容插入到行列式的計算中，其實這是完全不必要的，行列式的運算只要利用性質就足夠了，不必涉及矩陣內容。至于矩陣與行列式以及矩陣的初等變換和行列式性質之間的聯系到矩陣內容認識也為時不晚，而且，這樣兩個內容不易混淆。當然，對于課程內容的調整，我們既要從知識結構的先后順序考慮，從方法論的角度考慮，任何數學知識中都包含一定的數學方法，獲得知識的同時，必然會接觸數學方法;又要從學生認知的規律考慮，學生的認識規律應該是：從易到難，從簡到繁，由淺入深，循序漸進。綜合上述理由， 課程內容的合理安排和適當調整，有助于學生學習效率的提高，同時也會增強學生學習的積極性。

2.以初等數學為基礎，由淺入深，循序漸進，有助于高等代數的理解

對于一年級的大學生來說，高等代數的內容是全新的概念，全新的思維方式，多數同學感覺知識銜接不上。其實，高等代數的許多內容都可以從初等數學中找到源頭，在對比中辨別高等代數與初等數學在處理問題思維方式上的異同。譬如，多項式教學中，先是復習初等數學中多項式的概念，然后引入高等代數的多項式概念，利用類比的方法，讓學生知道高等代數中多項式所含只是一個形式上的文字符號，它可以表示數，也可以表示矩陣、函數等等，而初等數學中多項式所含只能表示一個數。高等代數中的多項式在一般情況下，是一個形式的表達式，而初等數學中只表示一個函數，它們是特例與一般的關系。從上面的討論情況可看出，兩種多項式彼此間卻存在著層次上的差別。教學中應及時與中學教材中多項式的概念、性質聯系對照，比較其觀點與方法上的區別與聯系，讓學生明確初等數學中多項式概念的局限性，高等代數中多項式理論的廣泛性。認識其一般性與概括性的特點，這不僅能提高學生的學習自覺性，也能使學生逐步弄清高等代數與初等代數在處理問題著眼點上的差異。

3.善于利用恰當示例，有助于抽象概念的消化

高等代數課程內容有三多，即概念多，定理多，結論多，但例題少。這給同學們對抽象內容的理解帶來很大困難，經常出現的問題是，課聽懂了，書看懂了，但題目不會做。其實這種懂不是真正意義上的懂，只是形式上的懂或表面上的懂，沒有理解內容的本質。如果結合恰當的例題講解抽象的新的內容，將有助于學生對新內容的理解。例如，線性空間這個概念中，定義了加法“+”和數量乘法“·”兩種運算，滿足八條規則。學生對這兩種運算往往是停留在表面和符號上面，由于他們只習慣于通常的數的加法和乘法運算，所以不能完全理解這兩種運算的深刻含義。另外，對線性空間的零元素“0”，學生們也只是認為是數0。教材上在這里給出的幾個例子，由于集合上定義的運算均為通常意義下的加法和數量乘法，所以，學生不能深刻體會和認識線性空間上這兩種運算的真正意義，導致學生出現“課聽得懂，書看得懂，就是不會做題”問題。如果在講解這個概念時，結合下面的例題，學生就能對線性空間的概念有一個透徹的理解和認識。例題：設是全體正實數的集合，定義線性運算如下：

（1）加法：對，定義? ;

（2）數量乘法：對，定義

問在這樣定義的線性運算下，是否構成實數域上的線性空間？

這里定義加法，實際上是我們通常運用的數的乘法運算，而這里定義的數量乘法，就是我們通常運用的數的乘方運算。滿足零元條件的數是1。通過這個例子的講解，同學們才充分認識到，線性空間上定義的兩種運算有其自身的含義，線性空間是依托于這兩種運算的。線性空間的零元素和數0在數的通常意義的加法運算中作用相同，但未必就是數據0，也就是空間上任意元素和“零”元素作加法不變，但這個加法是這個線性空間上定義的加法。

4.理論聯系實際，有助于激發學生的學習積極性

低年級的大學生心懷各種夢想，但卻很迷茫。所學不知其所用是普遍存在的問題。所以我們在教學中適時地介紹高等代數理論和方法在其它不同領域的應用，不僅可以加深學生對新學理論的理解和認識，還可以使學生了解所學知識的用處，并可培養學生理論聯系實際的良好作風，激發學生學習的積極性。

5.適當的現代技術手段和信息技術的使用，有助于教學效率的提高

今年突如其來的疫情迫使國內外各大中小學校不得不采用網絡授課，一個學期的網課教學使我學到了很多，也認識到，現代化教學方法勢在必行。雖然人們對高校數學課程引入現代化教學手段認識觀點褒貶不一，但不可否認的是，現代化教學手段的使用，可以提供更多的信息量，可以增加內容的直觀性，可以解放教師的手腳節省體力，可以讓教室更加的環保。可以利用網絡把更好的資源引入課堂，還可以利用網絡平臺直接錄播課堂教學，學生可以集中注意力認真聽講，課后通過回放整理筆記，會使學習效率更高。同時，還可以利用網絡平臺把課堂延伸到課下，因為這個平臺不需要固定場所、高端設備和固定時間，它提供的是一個立體化的教學環境。當然，現代化教學手段的使用要適度，關鍵是如何才能把先進的現代化手段同傳統的教學方法有機地結合，在數學教學中不斷尋求現代化教學的規律、教學方法，在實踐中不斷發現問題，總結經驗，逐步加以改進和完善。在教學改革、提高教學質量上發揮它們的重要作用，這才應該是我們努力的方向和目標。

參考文獻

[1] 李建平，如何實現信息技術與教學整合[J]，中國教育報2003年11月11日第2版.

[2] 《高等代數》（M）（第四版）北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組 編，王萼芳 石生明 修訂，高等教育出版社，2013年8月.