解析幾何的五種關鍵“點”

在解析幾何中“點”是最小的單位，卻是所有的問題的“制造者”，從這個角度來說，點是解析幾何中的主角，因此對各類點的特點進行深入剖析，對我們全面把握解析幾何的解題規律是大有益處的。為此，我們總結了五種常見關鍵點進行剖析。

一、動點：行蹤不定，擅長制造軌跡，最值等問題

例1：設橢圓的左頂點為， 右焦點為，為線段的中點，為橢圓上一動點，則的最小值為 .

解析：，，則，設橢圓上的任意點為，則，由P在橢圓上，故，代入得，，由二次函數單調性可知，的最小值在處取到，此時，即的最小值為.

點評：解決動點最值問題的基本思路是利用圓錐曲線的定義和代數方法，本題利用函數思想也經常用到。

二、交點： 成對出沒，擅長制造弦長，面積等問題

例2：已知橢圓，直線與橢圓交于A，B兩點，若的面積為，求k的值

解：設，直線過定點，則的面積為，聯立，消去y整理得，故，，則，得

點評：與交點有關問題經常用到韋達定理，若是弦長問題則通常用弦長公式或焦半徑公式。

三、存在點：似有似無，擅長構成某種特定結構，制造求值、范圍問題

例3：拋物線的焦點為，其上是否存在一點，設在準線上的射影為，使是等邊三角形？若有請求出M的橫坐標，若沒有請說明理由。

解： 假設存在這樣的點M，則由拋物線定義可知，故當是等邊三角形時必有，說明F在的垂直平分線上，而F到準線的距離為，故，說明存在這樣的點，其橫坐標是

點評：對于存在點問題，可先假設其存在，然后根據已知條件探求對象存在的條件，進行驗證或否定。

四、中點：溝通橋梁，擅長制造求值類問題

例4：已知橢圓，過點的動直線與橢圓相交于A，B兩點，若線段AB的中點的橫坐標為，求直線AB的方程.

解：顯然C在橢圓內部，設直線AB的方程為，帶入整理得，設，，則線段AB的中點的橫坐標為，即，解得，故直線AB的方程為

點評：中點相關問題往往采用設而不求的整體處理技巧，解決坐標，長度，斜率等問題均可。

五、對稱點： 如影隨形，擅長制造最值、存在性問題等等

例5：過定點作直線與拋物線（）相交于兩點.若點是點關于坐標原點的對稱點，求面積的最小值。

解：點的坐標為，設，聯立得，于是，，則，，當時，

點評：在對稱問題中，充分利用兩個對稱點坐標的關系是解決問題的關鍵。

點是圓錐曲線問題中最小又最重要的主角之一，熟悉了各種各樣的“點”的特點和應對策略，我們在解題時才會針對各種題型做到有的放矢。