電功公式的推導

一、電流做功的實質

電路接通的瞬間，恒定電場以真空中光速C在導體中傳導，電路中各處的自由電荷幾乎同時開始定向移動，整個電路也幾乎同時形成電流。我們要注意兩點：①恒定電流中，電荷定向移動的速率穩定不隨時間變化，可以認為是靜電力與阻力平衡的結果，且數值極小，為 數量級；②在恒定電流的電路中形成恒定電場，各處的電荷分布和電場強度都是穩定不隨時間變化，基本性質與靜電場相同。由此可知，一段時間里，電流在一段電路中所做的功就是恒定電場對這段電路每一個自由電荷的靜電力在這段時間做功的總和，結果這段電路中所有定向移動的自由電荷電勢能減少轉換為其它能。

二、電功公式的推導

圖1表示很小的一段電路（1），電荷處于由左向右的定向移動，它們從這段電路的左端移動到右端所用的時間為t（2），根據第一小節分析，在這段時間里，通過這段電路的總電荷量q=It，如果這段電路左右兩端的電勢差為U，那總電荷量q從左端移動到右端的過程中，靜電力做的功為： W=q﹒U=IU﹒t

這表示，電流在一段電路中所做的功（3）等于這段電路兩端的電壓U，電路中電流I，通電時間t（4）三者的乘積。以上是教科書中電功公式的推導，顯然上述過程是用微元方法推導的，但比較推導過程中的（1）（2）與結論中的（3）（4）不難發現概念的跨度和思維的躍進有點大，中學生往往難以理解和接受。

三、詳解電功公式推證

一段電路AB形成的恒定電流I，如果某一時刻AB上電荷分布如圖2所示，取一段很短的時間Δt，那么在Δt內流進A端的電荷（A端左側電荷）q= ，這些自由電荷定向移動速率極小，向前推移的距離Δx也極小，為保持AB上的電荷分布不變，那么AB上原分布的每一部分q均向前推移Δx。同時也有相同的電荷量q移出B端（B端右側電荷）。每一部分q推移過程中對應的電勢降落 ... ，所以 。而電流在Δt內做的功等于每部分電荷q受到的電場力做功總和。那么 =

另外上述結論用等效法也能得出。對比圖2（1），（2）這一段電路中所有自由電荷電勢能減少量等于流進部分電荷q從A端移動到B端電勢能的減少 ，許多時間 累積為一段時間t，那么t= ，所以在時間t內電功為：W=△w1+△w2+△w3+…+△wn=IU（△t1+△t2+△t3+…+△tn） =IUt.

電流在一段電路中所做的功，等于這段電路兩端的電壓U，電路中電流I，通電時間t，三者的乘積。這樣結論中的陳述與推導中的條件含義一致。