談談點的軌跡問題的探求方法

在解析幾何中求動點的軌跡方程問題是用代數方法研究幾何問題的基礎，求點的軌跡是把基本知識、方法技巧、邏輯思維能力、解題能力集于一體的過程，因此既是重點，又是難點，求曲線的軌跡方程問題，貫穿于圓錐曲線的始終，也是高考熱點問題之一。

求曲線的軌跡方程時，要審清題意、確定解題方法、逐步解答、綜合陳述、完整作答等環節，其基本步驟是：

①設點：建立適當的坐標系，設曲線上的任一點坐標;②列式：寫出適合條件的點的集合;③代換：將等式轉化成坐標的形式，列出方程;④化簡：將方程化成最簡形式;⑤證明：化簡后方程的解為坐標的點都在曲線上，把多余的點剔除，把遺漏的點補上。

通常情況下，求動點的軌跡方程可采用以下方法：①直接法、②定義法、③代入法、④參數法、⑤待定系數法、⑥交軌法等，而這些方法的使用一般情況下會因題而異，當然有些問題要同時采用多種方法求解，以達到優化解題過程的目的。這里就不同類型的軌跡問題用不同方法去求它們軌跡方程，分別進行探究。

一、直接法

如果動點滿足的幾何條件是一些幾何量的等量關系，求動點的軌跡方程時只需把這種關系轉化成含有的代數表達式，通過化簡即可得到曲線的軌跡方程。

例1：設圓：，過原點作圓的任意弦，求弦的中點的軌跡方程。

解：設為過的任意一條弦，為中點，則，又中點為，則，得方程，考慮軌跡的范圍知。

反思：若題目中有明顯的等量關系，或可用平面幾何的知識推出等量關系則可用直接法求軌跡方程。此題主要利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半及圓的知識直接求解，解此題還應注意的取值范圍。

一、定義法

如果動點軌跡滿足某一曲線的定義（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等），可由圓錐曲線定義直接或間接得出軌跡方程。

例2：一動圓與圓外切，同時與圓內切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是怎樣的曲線？

解：設動圓圓心為，半徑為，設已知圓的圓心分別為，將圓的方程分別配方得："，當動圓與圓外切時，有……①，當動圓與圓內切時，有……②;①②兩式相加，得，動圓圓心到點和距離和是常數12，點的軌跡是焦點為 ， ，長軸長為12的橢圓。圓心的軌跡方程為，軌跡為橢圓。

反思：解決此類問題的關鍵是設法找出動點所滿足的幾何條件。此題中動點到兩個定點的距離之和為常數，動點所滿足的幾何條件符合橢圓的定義。

例3.已知圓和圓，動圓同時和及圓相外切，求動圓圓心的軌跡方程。

分析：畫出圖形，由平面幾何知識可得，求該點的軌跡方程可用定義法。

解：設動圓與圓和圓分別相切于、兩點，根據兩圓外切的條件可得：，，又，動點到兩定點，的差是常數2，根據雙曲線的定義，動點的軌跡為雙曲線的左支，設其方程為得其軌跡方程為：

反思：本題用雙曲線的定義求軌跡方程時，要注意動點到，的距離之差為常數，

而不是差的絕對值為常數，所以軌跡只能是雙曲線的一支。

三、代入法

若動點依賴于另一動點，而又在某已知曲線上，則可先寫出關于的方程，再將換成，最后代入求解即可。

例4.已知雙曲線的左、右頂點分別為，點是雙曲線上不同的兩個關于軸的對稱點，求直線與交點的軌跡的方程。

分析：設，用表示出，代入雙曲線方程求解。

解：設，則，

…… ①.

…… ②

①②整理得，將代入得，又點在雙曲線上，，，故軌跡的方程為，

反思：在求軌跡方程時，一個題目可能涉及多個動點，在設坐標時應將待求軌跡上的動點設為，而其它動點可設為等，然后再尋找它們的關系。

四、參數法

當動點坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，但卻較易發現這個動點的運動常常受到另一個變量的制約，或者用這個變量可以將動點坐標中表示出來，我們可取這個變量為參數，得參數方程，再消去參數，求其軌跡方程。

四、交軌法

在求動點的軌跡方程時，經常會遇到涉及兩動曲線的交點軌跡問題，這類問題的解法主要是設法消去動曲線中的參數，得到所求的軌跡方程。

反思：交軌法是解兩個曲線方程，用交軌法求動點的軌跡方程時，不一定要求出交點坐標，只要能消去參數就行。

在求圓錐曲線有關的動點軌跡方程時，要用到圓錐曲線的定義和性質解題;涉及到多動點軌跡問題時，要分清主動點與被動點，選擇適當的參數解題，有時也可以用代入法求解;求軌跡方程時，一般應數形結合，充分利用幾何圖形的性質，將形的直觀性與數的嚴謹性結合起來;若題目中的條件是一些向量式，則要把向量的幾何關系與坐標運算結合起來。

求點的軌跡方程的方法是多種多樣的，但對某個題目來說并不一定有多種方法，所以根據條件，恰當地選取求解方式是解題的關鍵。