數學建模思想融入數學課程

將數學建模的思想應用數學課程，并不是心血來潮的產物，而是有充分的根據，并已醞釀了相當長的一段時間。今天，我只想談一些自己的看法，作一個非常一般性的發言，不妥之處，請大家批評指正。

一、先談談我對數學這門學科的看法和認識

數學是什么？按照恩格斯的說法，數學是研究現實世界中的數量關系和空間形式的科學。盡管從恩格斯到現在，數學的內涵已經大大拓展了，人們對現實世界中數量關系和空間形式的認識和理解也已今非昔比，但恩格斯的說法應該說仍然有效。 概括起來，大概有以下幾條：

（1）數學是一種語言。數學是一種科學的語言，并且是一種世界通用的語言。加減乘除，乘方開方，微分積分、等等，這些數學語言和符號，但早已統一為一個固定的樣式，世界各地通用。不管怎樣說，數學是一種精確的科學語言已經成為人們的共識。

（2）數學是一個工具。數學是一個有力的工具，在人們的日常生活及生產中隨時隨地發揮著重要的作用，已經是一個不爭的事實。

（3）數學是一個基礎。數學是各門科學的基礎。不僅在自然科學、技術科學中，而且在經濟科學、管理科學，甚至人文、社會科學中，為了準確和定量地考慮問題，得到有充分根據的規律性認識，數學都成了必備的重要基礎。

二、我對如何將數學新課標下建模的精神融入數學課程的一些具體意見

要了解數學的思想方法和精神實質，有必要了解數學思想是怎樣發展的。這里有相輔相成的兩點值得注意。首先，正如恩格斯所說，“和其他所有科學一樣，數學是從人們的實際需要中產生的：是從丈量地段面積和衡量器物容積，從計算時間，從制造工作中產生的”，“這就是說，數學發展的根本原動力，它的最初的根源，不是來自它的內部，而是來自它的外部，來自客觀實際的需要。我們現在強調數學建模，主張在數學教學中突出數學思想的來龍去脈，揭示數學概念和公式的實際來源和應用，恢復并暢通數學與外部世界的血肉聯系，其依據就在這兒。

但如果對每一個概念、每一個公式，都要先講它們的數學模型，講它們的來龍去脈，并作為一個模式，不得越雷池半步，這不僅不可能、不必要，而且更是要不得的。課堂教學時間也不允許啦。這主要是因為，事物還有其另外的一面，數學的思想方法還有一個重要的特點，就是一旦形成了基本的概念和方法，不再需要實際需求的刺激，單憑解決數學內部矛盾這一需求的推動，單憑抽象的數學思維，數學也可以大踏步地向前推進，而且所得到的結論還可以成功地接受后來實踐的檢驗，充分顯示出數學的威力。正如恩格斯所說：“和所有其他的思維領域一樣，從現實中抽象出來的規律，在一定的發展階段上就和現實世界相脫離，并且作為某種好似獨立的東西，好似從外面來的規律——世界應該與此規律相適合——而與之相對立。……僅僅因為如此，數學才能被一般地應用。”這就是說，從數學發展的歷史及實際情況來看，并不是數學的所有發現或發明都首先來自實踐需要的推動，都是“加工訂貨”的產物，而且恐怕絕大多數的內容并非如此，但這些發現和發明不少在后來都被發現有這樣或那樣的原型或應用。恩格斯說得好：“自然界對這一切想象的數量都提供了原型。”他并沒有武斷地說“這一切數量都是根據自然界中的原型引入進來的”，而只是說“自然界為之提供了原型”，這包括了后來發現其應用的可能性。而且，正如恩格斯所說，數學的這一特點，正是數學方法威力無窮的一個保證。如果數學本身不能能動地進行思維和發展，一切都要等待和依賴實際需要的推動，那么，數學要在現實中發揮作用，只能是消極的、被動的和滯后的，數學就失去了生命力，也不符合數學史上的大量事例。

非歐幾何的發現，是從證明歐幾里德第五公設（平行線公設）的邏輯上的考慮出發的，前后達二千多年。原先只是構作了一個邏輯上同樣沒有矛盾的新幾何體系，后來才找到了它的幾何實現，即找到了它的原型，再后來才被成功地應用到愛因斯坦對廣義相對論的研究中去的。同樣，在量子力學興起的時候，對海森堡創造的一個關鍵性的概念，很快發現就是數學上已有成熟理論的矩陣，因此一下子就對建立量子力學的體系發揮了重要的作用。楊振寧在建立規范場理論時所用的勢及場強等基本的概念，后來也很快被發現就是數學上已有豐富結果的纖維叢的聯絡及曲率，很多問題因而一下子就迎刃而解了。恩格斯說得好，正因為數學有這樣的特點，“數學才能被一般地應用”。數學在非常純粹的狀態之中按照其固有的運動軌道向前發展，而一旦需要，它會在解決現實世界中關鍵問題的時候突然現身，并發揮出人們意想不到的重要作用，將科學大踏步推向前進，這一點不由得引起人們的驚奇和贊嘆。愛因斯坦就曾經說過：“數學，人類純思維的結晶，完全脫離于現實經驗，怎樣可能如此完美地適合物理世界的物體呢？”解釋這一個原因，涉及到深奧的哲學問題，可能至今還會爭論不休，這里不想涉及。但縱觀數學發展的歷史，這卻是一個屢見不鮮的事實，我們不能對此熟視無睹。

因此，在強調將數學建模精神融入到數學課程的時候，我們不應該采取形而上學的思維方式，簡單地在所有的概念或命題之前都機械地裝上一個數學建模的實例，把一個完整的數學體系變成處處用不同的數學模型驅動的支離破碎的大雜燴。過去在“文化大革命”中的一些教材，由于片面強調理論聯系實際，號召“以典型產品帶動教學”，處處充滿了實際問題的例子，教師難教，同學難學，效果很不理想，應該引以為鑒。

總之，在將數學建模思想融入數學課程的過程中，我們要追求的境界，應該像毛澤東主席在“詠梅”這一詞章所寫的那樣：“俏也不爭春，只把春來報。待到山花爛漫時，她在叢中笑。”