2018年高考數學全國卷Ⅰ理科第16題的思考

摘 要：文章對2018年高考數學全國卷Ⅰ理科第16題進行了多解法研究，探究了題目函數的幾何意義，挖掘了命題背景，總結了一些教學思考.

關鍵詞：函數；最值問題；素養

一、真題呈現

題目： （2018年高考數學全國卷Ⅰ理科第16題）已知函數f（x）=2sin x+sin 2x，則f（x）的最小值是 .

評析：本題以三角函數為背景，以函數的最值問題為設問，題干短小簡潔，意在考查周期性、對稱性、導數、三角公式等基礎知識，綜合考查數形結合、消元、換元、轉化等思想方法.與2017年高考數學全國卷Ⅰ理科第16題相同，該題也是利用導數求解函數的最值問題，淡化特殊技巧，注重通性通法，凸顯數學本質.該題很好地體現了素養導向的高考命題趨勢，不但注重基礎知識的鞏固與理解，還實現了試題要素從單一因素到復合因素的創新，融入了數學核心素養.

二、解法研究

解題時，需要先研究函數的周期性與圖像的對稱性，對題目進行等價轉化.如圖1，由數形結合初步判斷可得，函數f（x）是奇函數，周期是2π.

縱觀上述解題過程，題目條件的解讀至關重要.解法1以“一元函數”為視角，體現了用導數求解函數最值的基本方法；解法2至5以“二元三角函數”為視角，體現了通過消元將二元函數轉化為一元函數，再用導數求解函數最值的基本邏輯，或基本不等式直接求解最值的技巧性方法；解法6和7以“非線性規劃”為視角，把握了題目中隱藏的動靜轉化，將動態的點（cos x，sin x）轉化到靜態的單位圓上，體現了轉化思想，將問題轉化到“二元函數”的最值求解問題，解法6依然遵循了二元函數求解最值的基本邏輯，解法7則是高等數學觀點下求解二元函數最值的常見方法.七種解法體現了求解一元、二元函數最值問題的常見方法和邏輯，充分顯示了解法的基礎性與靈活性.

三、追根溯源

四、教學思考

高考試題是優秀的教學素材，蘊含著課堂教學導向，對試題的深入思考是充分挖掘試題價值和把握教學導向的必由之路.

通過對試題進行多角度思考，能通過一道題，掌握一類題.例如文中試題是函數的最值問題，通過多種解法的研究，教學中便能幫助學生獲得不同層次的發展，既可以明確求解一元、二元函數最值問題的一般方法和邏輯，還可以讓學有余力的學生學有所獲，對一道題目研究得越充分，學生學習的印象越深刻，效果越好.除此以外，多角度思考還能培養學生應用知識的能力，每種解法都需要學生聯系某些知識或思想方法，不斷的聯系思考能幫助學生鞏固知識，強化通性通法，還能實現高效課堂教學.

對試題的追根溯源能讓學生站在一定的高度去思考數學問題，透過現象看本質，提高學生的探究意識，發展學生的探究能力，提升數學思維品質.例如，文中試題的一個原型是：在△ABC中，求sin A+sin B+sin C的最大值.教學中，可以通過一題多變，打破就題論題的局限，進行“小題大做”.

對試題命題導向的把握能促進教學理念的更新.在素養導向的時代中，教學應緊扣數學核心素養，例如，文中試題的求解與溯源均從幾何直觀入手，幫助學生分析和解決數學試題，發現和提出數學問題，培養學生的直觀想象素養；通過對多種解法的思維整合，幫助學生理解知識之間的聯系，建構知識方法框架，提高學生思維的全面性，培養學生的邏輯推理素養.

總之，教學若能將學生解題轉變成解決問題，定能幫助學生提升科學素養，進而掌握科學思維方法，形成科學態度.

參考文獻

[1]任子朝.從能力立意到素養導向[J].中學數學教學參考，2018（5）：1.