胸有成竹靜待花開

【導(dǎo)語】

教師通過提出招聘難題，激發(fā)學(xué)生的探究熱情；借助古人名言，明確化難為易的探究方向，遵照學(xué)生的意愿從最簡單的數(shù)據(jù)開始探究，是學(xué)生經(jīng)歷解題方法多樣性到最優(yōu)化的思維過程。本課教學(xué)始終以學(xué)生為主體，自主探究解題方案，深化了對“一分為三”思想方法的認識。

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版數(shù)學(xué)五年級下冊“數(shù)學(xué)廣角——找次品”。

【教學(xué)目標(biāo)】

（1）知識與技能：會“一分為三”地解決簡單的“找次品”問題。

（2）過程與方法：讓學(xué)生通過猜測、畫圖、表演等方式感受解決問題策略的多樣性，經(jīng)歷從多樣性到最優(yōu)化的思維過程。

（3）情感與態(tài)度： 享受自主探究的樂趣，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感受數(shù)學(xué)的魅力。

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，提出招聘難題

1.出示相片，談話激趣

師：同學(xué)們，今天我們的課堂上來了一位大人物（手指馬云的相片），他是誰呢？你對他有什么了解？

生：馬云，阿里巴巴集團的創(chuàng)始人。

生：馬云，創(chuàng)造淘寶網(wǎng)的……

師：有一次，阿里巴巴集團在招聘員工時出了這樣一道題：

2.結(jié)合情境，提出問題

（多媒體呈現(xiàn)問題）81個乒乓球中，有一個稍重，如果用沒有法碼的天平稱，至少稱幾次，才能保證找到這個稍重的乒乓球？

【評析】創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)探究欲望。結(jié)合五年級學(xué)生善于思考，勇于挑戰(zhàn)的年齡特點，創(chuàng)設(shè)阿里巴巴集團招聘員工的教學(xué)情境，提出一個富有挑戰(zhàn)性的找次品問題，成功地激發(fā)了學(xué)生的探究熱情，也為后面在教學(xué)中滲透“化難為易”的思想方法埋下伏筆。

二、自主探究，尋求解題策略

（一）理解題意，嘗試解題

1.理解題意

師：從81個球中找什么？

生：1個稍重的乒乓球。

師：在眾多產(chǎn)品中有一些不合格，比如比標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量稍重或稍輕的產(chǎn)品，我們稱之為次品。

師：用什么工具找？（多媒體出示天平，并演示用沒有砝碼的天平稱球時平衡與不平衡的狀態(tài)）

師隨機提問：天平兩邊平衡說明什么？不平衡說明什么？

2.揭示課題

師：今天這節(jié)課我們就一起研究“找次品”的方法。

3.嘗試解題

師：要從81個球中找出一個稍重的球，你認為稱幾次可以找到？請同學(xué)們把答案寫在紙上，準(zhǔn)備匯報。

生1：80次。

生2：40次，兩個兩個來稱。

生3：1次，如果運氣好，第一次就拿到稍重的球。

師：有同學(xué)認為如果運氣好稱1次就可以找到稍重的球，你們同意嗎？

生：不同意，為保證找出次品應(yīng)該從運氣最壞的角度考慮。

（二）確定方向 自主探究

1.借用名言，明確探究方向

師：看來要從81個球中保證找到一個稍重的球不容易，“81個”數(shù)量太大研究起來有難度，我們該怎么辦呢？

師：老師想起古代教育家老子的一句名言“天下難事，必作于易”。（多媒體出示）

師：這句話是什么意思呢？

生：碰到難度大的事，從容易的做起。

師：從古人的話中你得到了什么啟示？

生：這道題中“81”數(shù)量太大，研究起來有困難，我們可以先拿數(shù)量少的球來研究“找次品”的方法，找到方法之后再解決這個數(shù)量大的題目。

【評析】名言指引，滲透“化難為易”的數(shù)學(xué)思想方法。與數(shù)學(xué)知識、技能相比，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟一些數(shù)學(xué)思考方法尤為重要。這里借用古代教育家老子的名言引導(dǎo)學(xué)生想到解決難題應(yīng)從最簡單的問題開始，明確了探究方向。

2.合作交流，探究解題方法

師：受古人的啟示我們就從最簡單的數(shù)量開始研究吧。從多少個乒乓球開始研究呢？

生：2個。

問題（1）：2個球中有一個次品（質(zhì)量稍重），幾次可以找到呢？

師：可以用身體演示或者畫圖的方法展示自己找次品的方法。

生：一次（攤開雙手模仿天平的樣子）。天平哪邊下沉，哪邊就是次品。

教師板書圖示（略）。

問題（2）：3個球中有一個次品（質(zhì)量稍重），幾次可以找到？

學(xué)生獨立思考后，在小組內(nèi)交流方法。交流結(jié)束后學(xué)生上講臺演示找次品的方法。

生：在天平的左右兩邊各放一個球，如果平衡了，那么次品是第3個球；如果不平衡，那么稍重的就是下沉那邊的那一個。

（教師板書圖示）

師：這位同學(xué)用“如果……那么……”描述了找次品的過程，同時配上他模仿用天平找次品的動作，思路清晰，非常形象。

師質(zhì)疑：為什么2個球要稱一次，3個球也只要稱一次呢？

師：在找次品時，我們不但可以用天平稱，還可以通過觀察天平是否平衡來思考次品在哪里。

問題（3）：4個球中有一個次品（質(zhì)量稍重），幾次可以找到？

生：可以把球2個、2個分開來，稱一次就知道次品在下沉的那邊，接下來把含次品的2個分別放入天平左右兩邊，再稱一次，下沉的那邊就是次品。

師：前面我們都是用畫圖的方式來記錄找次品的方法，隨著研究數(shù)量的增加，感覺畫圖有點麻煩，是不是還有更簡便的方式來記錄找次品的過程呢？用數(shù)字表示：

4個（2，2）→2（1，1） 2次

4個（1，1，1，1） 2次

【評析】自主探究，尊重學(xué)生主體地位。依照學(xué)生的意愿從2個待測物品開始探究找次品的方法，讓學(xué)生嘗試用身體模擬天平（或者畫圖）等方法，演示找次品的過程，知道下沉的那邊是稍重的次品。探究從3個待測物品中找次品的方法：3個待測物品，只要把2個放到天平上稱，如果平衡了，那么次品是第3個球；如果不平衡，那么稍重的就是下沉那邊的那一個。無論平衡與否，都能準(zhǔn)確地找出其中的次品。這是解決“找次品”問題的基本模型。在此設(shè)置小組合作交流環(huán)節(jié)讓更多的學(xué)生通過與同學(xué)交流夯實這一思想基礎(chǔ)。學(xué)生匯報時，教師及時肯定并強調(diào)學(xué)生用到的關(guān)鍵詞“如果……那么……”“接下來……”來幫助更多的學(xué)生運用這些關(guān)聯(lián)詞有序地表達找次品的過程，讓學(xué)生的思維更加清晰。

問題（4）：5個球中有一個次品（質(zhì)量稍重），幾次可以找到？

問題（5）：6個球中有一個次品（質(zhì)量稍重），幾次可以找到？

問題（6）：8個球中有一個次品（質(zhì)量稍重），幾次可以找到？

8個（4，4）→4（2，2）→2（1，1） 3次

8個（2，2，2，2）→2（1，1） 3次

8個（2、2、4）→不平衡2（1，1）

→平衡4（2，2）→2（1，1） 3次

問題（7）：9個球中有一個次品（質(zhì)量稍重），幾次可以找到？

學(xué)生在練習(xí)本上畫一畫、寫一寫，小組交流討論，集體匯報。教師板書。

9（1，1，1，1，1，1，1，1，1） 4次

9（2，2，2，2，1） → 2（1，1） 3次

9（4，4，1）→4（2，2）→2（1，1）3次

9（3，3，3）→3（1，1，1） 2次

9（2，2，5）→平衡2（1，1）

→不平衡5（2，2，1）→2（1，1） 3次

師：比較上面幾種分法，哪種分法所需稱的次數(shù)最少？

生：（3，3，3）的分法所需稱的次數(shù)最少。

師：剛才那位同學(xué)是怎么稱的？（讓更多的學(xué)生復(fù)述過程，爭取讓大家都理解這種分法）

生：把9個待測物品分成（3，3，3），天平兩邊各放3個，如果平衡，次品就在第3份里；如果不平衡，次品就在下沉的一份里，接下來再按前面的方法把含次品的“3”分成（1，1，1），再稱一次。一共稱兩次就可以找出次品。

師：看來稱的次數(shù)跟分法有很大的關(guān)系。

【評析】由于這幾次活動數(shù)量變化的梯度小，學(xué)生順利地發(fā)現(xiàn)多種找次品的方案。在此，教師沒有急于優(yōu)化最佳方案，而是放手讓學(xué)生繼續(xù)探究，直到研究從9個待測物品中找次品時，學(xué)生發(fā)現(xiàn)把9個待測物品分成（3，3，3）去稱，只要稱兩次就可找到次品，所需稱的次數(shù)最少。初步感知所稱次數(shù)與分法有關(guān)系。

3.比較分析，優(yōu)化解題策略

師質(zhì)疑（指黑板上的板書）：為什么從9個球中找次品只要稱兩次，而從8個球中找次品卻要稱3次呢？

師：從8個球中找次品會不會還有更好的稱法？

生：8個球分成（3，3，2），先在天平兩邊各放3個，平衡則說明次品在“2”里；不平衡則說明次品在下沉的“3”里，接下來把含次品的“2”或“3”再稱一次就能找出次品。

師板書：

8（3，3，2）→平衡2（1，1） 2次

→不平衡3（1，1，1） 2次

師（板書）：請同學(xué)們觀察比較從8個、9個球中找次品的各種稱法，把待測物品分成幾份所需次數(shù)最少？

生：3份。

師：為什么分成3份所需次數(shù)會更少呢？

生：把待測物品分成3份，稱1次就知道次品在哪1份里，再稱1次就能找出次品。

師追問：把9個分為（2，2，5）這樣的3份也能稱兩次就找出次品嗎？為什么這樣分要3次？

生：“5”這一份數(shù)量太多。

師繼續(xù)追問：分成怎樣的3份才不會使某1份的數(shù)量太多呢？

生：平均分。

師繼續(xù)追問：像“8”，不能平均分成3份的怎么分好呢？

生：為了不使某一份數(shù)量特別多，不能平均分的要使多的一份與少的一份相差“1”。

師：請同學(xué)們用自己的話說說用天平找次品時怎樣分所需稱的次數(shù)最少。

生：用天平找次品，把所稱物品平均分成3份，不能平均分時，使多的一份與少的一份相差“1”，所需稱的次數(shù)最少。

【評析】精心設(shè)計問題，讓學(xué)生經(jīng)歷從多樣性到最優(yōu)化的思維過程。教師通過質(zhì)疑、追問的形式，引導(dǎo)學(xué)生分析、比較不同分法的優(yōu)缺點，最終在眾多方案中優(yōu)化出最佳方案，理解了為什么要“一分為三”的道理。三、應(yīng)用策略，解決招聘難題

師：通過“化難為易”的方法我們總結(jié)了從眾多物品中找到一個次品的最佳策略，你能應(yīng)用這種策略解決馬云公司的招聘題嗎？（課件出示課始的招聘題）

1.學(xué)生獨立完成，集體匯報

81（27，27，27）→27（9，9，9）→9（3，3，3）→3（1，1，1） 4次

2.拓展延伸

教師提出問題：如果243個球中有一個次品（質(zhì)量稍重），至少稱幾次，能保證找到次品呢？

四、總結(jié)反思，感悟?qū)W習(xí)方法

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲？

生：我知道碰到難題時可以先從簡單的問題入手，找出規(guī)律之后再解決難題。

師：“找次品”的最優(yōu)方案是什么？

生：把所稱物品平均分成3份，不能平均分時，使多的一份與少的一份相差“1”，所需稱的次數(shù)最少。

師：剛才我們是怎樣找到這個最優(yōu)方案的？

生：我們是從最小的數(shù)量開始研究，發(fā)現(xiàn)了很多不同的稱法，當(dāng)研究到9個待測物品時，發(fā)現(xiàn)稱的次數(shù)與分法有關(guān)系，再通過比較不同分法的優(yōu)缺點，找到了這個最優(yōu)方案。

【評析】及時反思，總結(jié)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，鞏固“一分為三”的解題方法，并且引導(dǎo)學(xué)生反思探究過程，總結(jié)探究方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。