對二元二次式取值問題的探究

二元二次式的取值問題通常可以利用基本不等式進行求解，但是基本不等式的使用需要進行諸多判斷，例如：需要進行變量符號的判斷，是否可以取等號的判斷，不等號的方向的判斷.剛剛學習基本不等式的學生往往會在這些方面上犯錯而不能成功解題，所以筆者嘗試從方程的角度去徹底地解決這類問題.

例1.[2010浙江高考]若正實數x，y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值為.

分析：根據題設易知xy可用解析式表達，引入參數m，令2x+y=m，得xy=6+m，則2xy=12+2m.逆用根與系數的關系即可構造一個一元二次方程，由Δ≥0即可求出參數取值范圍，由參數的取值范圍易得xy的最小值.

解：由已知，設2x+y=m（m>0）.

由2x+y+6=xy，得xy=6+m，2xy=12+2m.

所以2x和y是方程t2-mt+12+2m=0的兩個根.

由Δ≥0，得m2-4（12+2m）≥0，

即（m-12）（m+4）≥0.

又m>0，解得m≥12.

所以xy=6+m≥18，即xy的最小值為18.

根據這個例題我們可以抽象出一個模型：

模型一：若正實數x，y滿足ax+by+cxy+d=0，其中ab>0，cd<0，求ax+by和xy的最值.

對于這樣一個模型，依舊可以用同樣的思路來探究一下：

解：

設ax+by=m.

（1）若a>0，b>0，此時m>0.

易得ax·by=-abc（m+d）>0，

故ax與by為方程t2-mt-abc（m+d）=0的兩根.

由Δ≥0可得m2+4abcm+4abdc≥0.

又m>0，

所以m≥2abc2-abdc-2abc.

①當c>0時，

由ax·by=-abc（m+d）>0得，d<-m.

此時xy≤2ab-2a2b2-abcd-cdc2.

②當c<0時，d>0，

此時xy≥2ab+2a2b2-abcd-cdc2.

（2）當a<0，b<0時，

同理可得m≤-2abc2-abdc-2abc.

①當c>0時，d<0，

此時xy≥2ab+2a2b2-abcd-cdc2.

②當c<0時，d>-m，

此時xy≤2ab-2a2b2-abcd-cdc2.

將上述探究結果用表格的形式表述如下：

到這一步，對這個模型的探究還只能叫作“挖得深”，這還不夠，還需要“看得遠”.在不斷解題的過程中，筆者發現很多題目都是不同背景下的同種題型，本質都是模型一，下面給出一個題目：

題目1：[2018石家莊質檢]已知直線l：ax+by-ab=0（a>0，b>0）經過點（2，3），則a+b的最小值為.這個題目是一個很典型的在幾何背景下的不等式問題，只要把點代入直線就會發現和模型一完全一樣.

由于篇幅的問題這里就不再給出更多題目，在解決例1的過程中，筆者發現了一種類似的題型，初步探究后發現這種形式相似的題型解法仍可以運用同樣的方法，但其內在結構和模型一并不相同.例題如下：

例2：[2011浙江高考]設x，y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值為.

解：設2x+y=m.

由4x2+y2+xy=1，

得（2x+y）2=1+3xy，

即xy=m2-13，

所以2x·y=2m2-23，

所以2x和y是方程t2-mt+2m2-23=0的兩根.

由Δ≥0可得

m2-42m2-23≥0，

解得m∈-2105，2105，

即2x+y的最大值為2105.

和模型一的處理方法相似，可將例2進行抽象處理，得到模型二如下：

模型二：若x，y∈R，且a2x2+b2y2+cxy+d=0，（a，b，c，d為常數），abd（2ab+c）<0，c≠0，則ax+by和xy的取值范圍分別為.

這樣，模型一、模型二在結構上的差異便可直觀地展現出來.筆者將模型二的具體探究過程展示如下：

解：令ax+by=m，

由a2x2+b2y2+cxy+d=0，

得（ax+by）2+（c-2ab）xy+d=0.

即xy=m2+d2ab-cax·by=ab（m2+d）2ab-c，

所以ax和by為方程t2-mt+ab（m2+d）2ab-c=0的兩根.

由Δ≥0可得2ab+c2ab-cm2+4abd2ab-c≤0.

①當2ab+c>0，abd<0，2ab-c>0時，

m∈--4abd2ab+c，-4abd2ab+c，

xy∈-∞，-d2ab+c.

②當2ab+c>0，abd<0，2ab-c<0時，

m∈-∞，--4abd2ab+c∪-4abd2ab+c，+∞，

xy∈-∞，-d2ab+c.

③當2ab+c<0，abd>0，2ab-c>0時，

m∈-∞，--4abd2ab+c∪-4abd2ab+c，+∞，

xy∈-d2ab+c，+∞.

④當2ab+c<0，abd>0，2ab-c<0時，

m∈--4abd2ab+c，-4abd2ab+c，

xy∈-d2ab+c，+∞.

用表格的形式表達如下：

探究到這一步，筆者同樣給出一些不同背景下原理相同的題目來拓展模型二的寬度，題目如下：

題目2：[2018廣東省際名校聯考]在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，

若（a+b-c）·（a+b+c）=ab，c=3，當ab取最大值時，S△ABC=.

本題可以用余弦定理求解，但是很明顯將題設中關于a，b，c的方程展開，將c的值代入方程就可以看出題目符合模型二的特點，再根據ab取最大值，便可以確定ab和a+b的值，從而確定出三邊，運用海倫公式直接求出面積，這樣一來這道解三角形的題目就完完全全變成了一道代數題目.

題目3：（原創）非零向量α=（m+2n，n），β=（n，n+m），其中m，n∈R且m，n不同時為0，若α·β=9，求m+n的取值范圍.本題是筆者根據模型二以及一些淺顯的向量知識自己原創的題目，做法也極其簡單，將數量積代入即可，之后的解法完全是模型二的套路.

到這里整個探究算是基本結束了，回想整個過程，數學的魅力到底體現在什么地方呢？是過程中點點滴滴的發現，是最終得到結果的喜悅，是一種成就感.用美國當代數學家、數學史家、數學教育家M.克萊因的一句話作為結束，“音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可以改變物質生活，而數學能給予以上的一切”.