對2018年全國Ⅱ卷理科數學12題的“一題多解”探究

摘 要：“一題多解”是克服學生思維定式的一種有效途徑，也是培養學生發散思維和思維靈活性的有效方法.通過長期“一題多解”的訓練，學生可以從多角度、多途徑尋求解決問題的方法，開拓解題思路，并從多種解法的對比中選擇最佳解法，總結解題規律，提高分析問題、解決問題的能力，使思維的發散性和創造性增強.本文以一道高考試題為載體淺談“一題多解”的必要性和重要性.

關鍵詞：高考試題；一題多解；必要性；重要性

2018年全國Ⅱ卷理科數學第12題，題目雖不新穎，但是內涵豐富，解法豐富多樣，這類題型的練習對學生的發散性思維有一定的啟發性，引起了筆者的深入探索和思考.

一、題目呈現

已知F1，F2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為36的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，則C的離心率為（ ）

A.23

B.12

C.13

D.14

二、試題分析

本題屬于傳統題，以橢圓的離心率為載體考查數形結合思想和等價轉化思想，也考查學生的邏輯推理、數學運算、直觀想象、數據分析等數學核心素養.

三、解法探究

本題的多種解法主要是以圓錐曲線的代數與幾何雙重特征為切入點，尋求已知與未知之間的內在聯系，探究解題的思路和方法.不同的解法體現不同的思維層次和思考角度，學生較容易入手，同時也要求學生要有一種勇于探索、敢于實踐的精神.根據題意畫出圖形如下：

解法1：直接法

由A是C的左頂點知A（-a，0）.

因為△PF1F2為等腰三角形，所以PF2=F1F2=2c.

由∠F1F2P=120°知P（2c，3c）.

又因為點P在過A且斜率為36的直線上，所以kAP=3c-02c+a=36，

即a=4c，所以e=14，選D.

解法2：聯立方程組

由條件可知直線PA的方程為y=36（x+a），直線PF2的方程為y=3（x-c），聯立兩條直線方程y=36（x+a），y=3（x-c），解得xP=a+6c5，yP=35（a+c）.

由條件知F1（-c，0），kPF1=33，

即35（a+c）a+6c5+c=33，

解得a=4c，所以e=14，選D.

解法3：利用余弦定理

在△AF2P中，PF2=F1F2=2c.

由余弦定理可知：

|PA|=（a+c）2+（2c）2+2c（a+c）=7c2+a2+4ac.

因為tan∠PAF2=36，所以sin∠PAF2=113.

在△APF2，△PF1F2中利用高相等有7c2+a2+4ac×113=2c×32=3c，

即32c2-4ac-a2=0，

解得e=14（負值舍去），選D.

解法4：利用正弦定理

因為△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，所以PF2=F1F2=2c，PF1=23c.

因為sin∠APF1=sin（∠PAF1+∠AF1P），tan∠PAF1=36，sin∠PAF1=113，cos∠PAF1=2313，∠AF1P=150°，

所以sin∠APF1=3926.

在△APF1中，由正弦定理有AF1sin∠APF1=PF1sin∠PAF1，即a-c3926=23c1313，

所以e=14，選D.

事實上，也可以由正弦定理得PF2AF2=sin∠PAF2sin∠APF2，

即2ca+c=113sinπ3-∠PAF2=11332×1213-12×113=25，

所以a=4c，即e=14，選D.

【點評】我們教師在試題講解過程中要向學生滲透從多角度深刻剖析問題的思想.只有讓學生的思維在“多角度”上下功夫，才能取得事半功倍的良好效果，學生的思維在不斷的展開中得到充分的訓練和培養.培養學生用規律解題，思維線路短，過程簡潔，大大提高解題的速度，“觸類旁通”的“巧思”也就一定會順其自然地產生.

下面給出兩道不錯的一題多解練習題供讀者參考：

2013年全國Ⅰ卷文科數學第15題：

當x=θ時，函數f（x）=sin x-2cos x取得最大值，則cos θ=.

2015年重慶高考文科數學第14題：

若正數a，b滿足a+b=5，則a+1+b+3的最大值是 .

四、解題反思

教學時我們應抓住有效時機讓學生試著靈活地應用所學知識、思想和方法創造性地解決問題.在培養學生思維能力的過程中，我們既要提供讓學生展開思維的空間，激發其思維的活躍性，使他們勇于思維；還要巧于點撥，使他們學會思維，科學地思維，提高其思維的質量.這樣，才能在數學教學中激發學生的思維，點燃學生創新的火苗.對解法的探索是在踐行我們所學的知識技能和思想方法，同時也使我們的思維更廣闊、思想更深刻.對試題本質的探源，使我們更深刻地認識問題，將新舊解題經歷跨時空貫通起來，這又是一個新的開始.

五、結束語

美國著名數學教育家波利亞說過，掌握數學就意味著學會解題，而想要學會解題，好的數學題目是關鍵.一道好的試題之所以能引起大家的共鳴，不是因為其獨特的解題技巧，而是其中所蘊含的數學思想和方法.正如波利亞說：“一個專心的認真備課教師能拿出一個有意義的但不復雜的題目，去幫助學生發展問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的領域.”