在柱面坐標系下三重積分計算法的探討

鄧 進

（湖南工程學院理學院，湖南 湘潭 411104）

0 引言

三重積分的計算是多元積分學中的重要知識章節。 教學過程中，學生往往反映難度很大；困難之處在于將三重積分轉化為累次積分時， 無法順利地確定累次積分的積分上限和積分下限。 一般教材和已有文獻多是介紹在直角坐標下三重積分的計算方法中的投影法和截面法，[2]介紹了在柱面坐標下的投影法，即將積分區域投影到極坐標面上的投影法。 但是， 柱面坐標下三重積分的投影法并不完善。 本文給出柱面坐標中的新的投影的概念， 并進一步探討在柱面坐標下將三重積分轉化為三次積分的投影法。

1 柱面坐標系[1，2]

設M(x,y,z) 為空間內一點，并且設點M 在坐標面xOy 上的投影M'的極坐標為(r,θ)，則有序三元數組(r,θ,z)就叫做點M 的柱面坐標(如圖1 所示)。

圖1 柱面坐標系

這里規定r,θ,z 的變化范圍分別為：

0 ≤r<+∞,0 ≤2π,-∞

由圖1 可知，點M 的直角坐標(x,y,z)和柱面坐標(r,θ,z)的關系為：

x=rcosθ,y=rsinθ,z=z

柱面坐標系中的三個坐標面分別為：

r 為常數：以z 軸為中心軸的圓柱面；

θ 為常數：過z 軸的半平面；

z 為常數：與xOy 面平行的平面.

不難知道， 柱面坐標下三重積分的體積微元dv=rdrdθdz，因此利用可得柱面坐標下三重積分的形式為：

2 投影法

[2]中詳細介紹了柱面坐標下三重積分的投影法，即將積分區域投影到極坐標面并進一步將三重積分轉化為三次積分。

下面介紹一種新的投影法。

②石孝友《卜算子》(見也如何暮)：雙調44字，上闋4句3仄韻，下闋4句3仄韻。句式：5575。5575。

圖2 在半平面內的投影示意圖

定義1 設θ=θ0為固定的半平面，過點M 作垂直于z軸的平面，該平面與z 軸的交點為O'，在該平面內以O'為 圓 心， 以|O'M|為 半 徑 作 圓 交 半 平 面θ=θ0于 點M'，稱點M'為點M 在半平面內θ=θ0的投影(如圖2 所示)。

將空間區域Ω 內任一點均投影到半平面θ=θ0上，得到空間區域Ω 在半平面θ=θ0上的投影區域D。

一般而言，選取θ=0 為所需的固定半平面。

此 時， 區 域Ω 的 邊 界 面 上 有 兩 個 曲 面θ=θ1(r,z)，θ=θ2(r,z)此外，還有可能有一部分是以為中心軸，由投影區域D 的邊界曲線繞軸旋轉而得到的旋轉曲面的一部分。 如圖3 和圖4 所示的兩種情況。

圖3 區域Ω 的邊界面(情形1)

圖4 區域Ω 的邊界面(情形2)

因此， 空間立體Ω 的質量可以看作密度不均勻的平面薄片D(r,z)的質量，只需要求出面密度ρ(r,z)即可。 而對區域D(r,z)內的任一點(r,z)，

從而

因此，

進一步，可將外層的二重積分轉化為二次積分。

如果投影區域D(r,z)表示為

則

從而，把三重積分轉化為先對θ，再對z，最后對r的三次積分。

如果投影區域D(r,z)表示為

則

從而，把三重積分轉化為先對θ，再對r，最后對z的三次積分。

特別地，如果積分區域為：

Ω={(r,θ,z)|α ≤θ ≤β,α ≤r ≤b,c ≤z ≤d}

則三重積分可轉化為：

綜上所述， 柱面坐標下三重積分的投影法可以總結為一句口訣，即“一投二交三積分”。

在上面公式的推導中， 假定了垂直于z 軸的平面內任意以z 軸和該平面的交點為圓心的圓弧與空間區域Ω 的邊界曲面相交于不超過兩點(位于Ω 的邊界上的圓弧除外)。 實際上，對于更一般的情況以上公式同樣成立， 只需要將分為若干個滿足上述條件的區域的和， 然后利用三重積分關于積分區域的可加性計算即可。