數學運算素養視角下的正弦定理教學

郭志堅

數學運算是六大數學核心素養中最基礎、最基本的一個數學素養，它推動、制約著其它5個數學核心素養的發展，當前學生的數學運算能力和運算素養較為低下是普遍存在的事實，數學運算素養培養成為落實數學核心素養的著眼點，本文以“正弦定理”為例，談談筆者在數學運算教學上的思考.

1 教學案例展示

1.1 提出問題，精準化理解運算對象

在數學教學中，提出與教學內容有實質聯系的問題，使學習內容與學生求知心理之間產生一種失衡的狀態，以形成學生的認知沖突，從而激發學生強烈的求知欲望、點燃學生思維的火花、促進學生情感的積極投入和思維的深沉參與;為學生不斷搭建“腳手架”，并暴露教師研究解決問題的思維過程，將“高深”問題通俗化、抽象問題具體化、一般問題特殊化，讓學生“看到”教師思維的“痕跡”，以促進學生對運算對象的理解，進而幫助學生找到研究的“入手點”，促進學生持續主動的探究，不斷實現“從無到有、從不懂到懂”，讓學生在教師的這種思維的教學中逐步掌握研究問題的一般方法，提高問題的轉化能力和語言的轉化能力，從而真正促進學生的數學理解，實現對定理的“再創造”.

師：我們知道在三角形中“大邊對大角”，也就是說三角形的內角隨著它的對邊的增大而增大，那么三角形內角與其對邊的這種關系是否存在一種等量關系呢？若存在，能否用一個等式把這種關系表示出來？請同學們結合已學知識探討這個問題，

師：研究問題常常是從特殊情況入手，同學們可以試著從特殊三角形入手.

生：在正三角形中，三邊等長，其角等大，在直角三角形中呢？ （沉思）

師：如果在將直角三角形特殊化呢？比如：在直角三角形△ABC中，∠A= ∠B= 45°，∠C= 90°，不妨設AC= BC =1，則AB=√2，此時，邊與其對角有沒等量關系？若有，那么其等量關系是什么？

生：∠C的大小是∠A和∠B的兩倍，但是邊AB不是邊AC，BC的兩倍，因此肯定不是角與邊直接的倍數關系，那是什么樣的等量關系呢？

師：請同學們回憶一下，在直角三角形中我們學過哪些能與該問題產生關聯的有關知識？

生：對了，正弦、余弦和正切.

1.2 思想化推導，多角度探究運算方向

“四基”是培養數學核心素養的沃土，因此，在運算教學時，教師首先要充分挖掘教學內容的思想要素，使“潛形態”的思想方法顯性化[2];其次應努力增加教學過程的思想含量，使學生在學習的過程中受到思想的熏陶;再次應教學生學會從不同角度、用不同方法去研究問題，積累基本經驗，從而使學生逐步學會多角度探究運算方向，進而優化運算程序.

師：由特例歸納出的猜想必須要經過嚴格的證明，你能證明它嗎？

生：在直角三角形△ABC中，C=90°，

由銳角三角函數的定義有sinA=α/c，sinB=b/c，

sinC =1.

師：如何將上面三個式子聯系起來？它們有沒相同的“東西”（暗示方法、啟迪思維）.

生：前面兩個式子都有字母c.

師：很好！這樣我們通過c可以將前面2式聯系起來，因此c是聯系它們的“橋梁”，請同學們通過c這個橋梁將前面2式聯系起來.

生：c=α/sinA=b/sinB

師：很好！那第三個式子呢？如何與前面2式產生聯系？

生：∵sinC=l=c/c=>c=c/sinC

師：非常好！剛才找聯系幾個式子的“橋梁”的過程，實際上是把每個式子當作一個方程，然后進行消“元”，運用了方程的思想解決問題，這樣我們得到：在直角三角形中，各邊與其對角的正弦的比相等，其它三角形是否也有類似結論？你能進行推導嗎？

師：當△ABC是銳角三角形時，它與直角三角形最大的區別是它沒直角，你有什么方法“造”直角？（停頓，暗示方法、啟迪思維）

生：可以過三角形的一個頂點作底邊的垂線.

師：你的意思是構造直角三角形？

生：是的.

師：非常好！請你完成證明.（學生證明，教師巡視，展示學生解答過程并點評）

師：非常好！這樣我們完成了銳角三角形的推導，請同學們回顧剛才的推導過程，包括其中所遇到的困難及其破解方法.（教學生學會回顧反思）

生：推導中首先遇到的困難是“沒有直角”，所以要“造”直角，其次是要會找“橋梁”.

師：很好！在剛才的推導中，“造”直角體現了化歸與轉化的思想，找橋梁則體現了方程和消參的思想方法.（感悟提升）

師：接下來請同學們在鈍角三角形中繼續探討這個問題（學生推導，教師巡，在學生遇到困難時給予適當點撥，展示學生的解答過程，并點評）（略去解答過程）

師：當△ABC是鈍角三角形時同學們課后用這種方法繼續證明，此外，同學們還可以嘗試用平面向量的方法證明正弦定理.

1.3 內涵化辨識，全方位選擇運算方法

深刻理解定理內涵、準確把握定理本質，是學生牢固掌握定理和靈活應用定理解決問題的前提條件，因此不單要讓學生掌握定理的內涵，也要掌握其外延，同時要掌握定理的等價形式及其適用范圍、類型，從而靈活其運算方法的選擇，進而優化運算程序、準確運算結果.

從方程的觀點看正弦定理可以解決以下兩類三角形問題：①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊角;②己知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他邊角.

師：下面應用正弦定理解決以下問題：

例1在△ABC中，已知bsinB =αsinA，試判斷該三角形的形狀，

師：怎么判斷三角形的形狀？一般可以從何入手？ （暗示方法、啟迪思維）

生：可以從邊入手或從角入手，

師：你的意思是單純從邊或者從角入手是嗎，可是已知條件邊角“混合”在一起，該怎么辦呢？

生：化統一，即將己知條件統一化成邊或者角，

師：很好！請同學們繼續完成此題.（巡視，提問）

師：很好！請同學們小結一下解題方法.

師生：判斷三角形形狀，邊角互化，實現“邊統一”或“角統一”.（總結、感悟、提升）

例2在 △ABC中，己知c=10，A=45°，C= 30°，解這個三角形.（學生解答，教師巡視，展示學生解答過程，特別說明如何計算sin105°）

解程序1：α→B→b程序2：B→α→b程序3：B→b→α.

小結 已知兩角和任意一邊，求其余兩邊和一角.

師：哦？其它同學有不同看法嗎？

生2：A除了等于45°之外，還等于135°，本題有兩組解，

師：非常好！在三角形中，一個內角的正弦值有兩個角與之對應（直角除外），同學們思考問題時要注意思維的嚴密性，繼續完成本題.

2 教學案例分析

在本教學案例中，將數學運算的培養滲透在正弦定理的各個教學環節中，具體如下：

（1）在促進運算對象的理解上，首先，通過問題將探究“正弦定理的模樣”這一抽象的運算對象通俗化、具體化，使學生得以找到探究的“入手點”——探尋“三角形邊與其對角的等量關系”;其次，通過精心設置問題，用“降維”的思想不斷地將大問題拆分成一個個連貫且有梯度的小問題，從抽象到具體、從一般到特殊，使學生逐步明晰運算對象，讓學生明白要“做什么”，并恰時恰度地對學生進行啟發引導，讓學生懂得“怎么做”;此外，不斷地為學生搭建“腳手架”，并暴露教師研究解決問題的思維過程，讓學生“看到”教師思維的“痕跡”，使學生在教師的這種思維的教學中逐步掌握研究問題的一般方法，提高問題轉化能力和語言轉化能力，從而真正促進學生的數學理解.

（2）在促進運算思路的探究和運算程序的優化上，首先通過研究問題一般方法的熏陶讓學生學會研究、學會多角度探究運算方向;其次通過推導過程和應用過程的數學思想方法滲透，讓學生掌握運算技能、感悟思想方法、積累基本經驗;再次通過對定理內涵的理解，靈活其運算方法的選擇;最后通過回顧反思加促進其運算知識的鞏固、運算技能的掌握、思想方法的感悟和基本經驗的積累.

學生的數學運算素養會隨運算知識的學習、運算技能的訓練、運算經驗的積累、思想方法的感悟而逐步提升[3].但是，運算是“童子功”，其培養不是一朝一夕的事情，它需要教師堅持不懈地研究數學運算素養與具體教學內容的結合點，探尋它的孕育點和生長點，將數學運算素養的培養與常態教學相結合，貫穿于課堂教學的各個環節，使數學運算素養切實成為可以落實的目標.

參考文獻

[1]章建躍，三角函數教材落實核心素養的思考[J].中小學數學（高中版），2016 （12）： 66

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準[S].北京：人民教育出版社，2018

[3]章建躍.高中階段的數學運算素養該強調什么[J].中小學數學（高中版），2016 （6）： 66