討論范圍過于廣，特殊值來幫忙

王鳳鳴 王法巖

函數(shù)恒成立問題，一直是函數(shù)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，如何解決此類問題，一直是學(xué)生的頭痛之事，我們知道，對(duì)于恒成立問題的一般方法有兩種，一種方法是分離參數(shù)求最值，另一種方法是直接求函數(shù)的最值，但是在直接求函數(shù)的最值中，可能需要進(jìn)行分類討論，而分類討論又是我們學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，同時(shí)有些問題，分類討論的所分的類特別的多，導(dǎo)致學(xué)生進(jìn)行不下去，那么對(duì)于有些問題，我們能不能有效的減少分類呢？近期，筆者所在學(xué)校進(jìn)行了一次模擬考試，在隨后的講評(píng)課上，筆者借助其中的一道題目，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一些簡(jiǎn)化運(yùn)算的技巧.

本題的第（1）問很容易求解，予以略過，

本題的第（2）問得分非常低，從評(píng)分系統(tǒng)查詢，可以發(fā)現(xiàn)該問的平均分為1.2分，為了探究該題，筆者在課堂上對(duì)此題進(jìn)行講評(píng).（以下是課堂實(shí)錄，老師簡(jiǎn)稱師，學(xué)生簡(jiǎn)稱生）

2 課堂實(shí)錄

師：對(duì)于第二問，我想知道大家在考試的時(shí)候是如何想的？ （此時(shí)班級(jí)沉默不語）

見此情況，筆者繼續(xù)發(fā)問：我們可以暢所欲言，錯(cuò)了也沒有關(guān)系，只有發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，我們才有機(jī)會(huì)改正錯(cuò)誤，誰愿意談一下自己考試時(shí)的想法，只要愿意談的，我給每人準(zhǔn)備了一份小禮物.（此時(shí)班級(jí)頓時(shí)活躍起來）

生1：我發(fā)現(xiàn)此題的最高項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，我先討論了a=0，這樣我發(fā)現(xiàn)此時(shí)不成立，我又討論了a>0，此時(shí)開口向上，對(duì)稱軸方程為x=a+2/2a，然后我就做不下去了.

師：生1 的思路很清楚，講得也很好呀（此時(shí)我拿出一個(gè)小禮物一一棒棒糖發(fā)給生1，全班頓時(shí)熱鬧起來，很多同學(xué)舉起手要回答），但是他沒有繼續(xù)下去，我們誰能對(duì)他的方法進(jìn)行補(bǔ)充呢？

生2：對(duì)a+2/2a分別與0和1比，找出此函數(shù)的最大值（上確界），讓它的最大值（上確界）小于0就可以了，但是考試的時(shí)候我沒有寫下去，我發(fā)現(xiàn)太復(fù)雜了，討論了a>0以后，還需要討論a<0，而此時(shí)還需要對(duì)a+2/2a分別與0和1進(jìn)行比較，這樣實(shí)在太復(fù)雜，沒有信心做下去了.

師：生2的思路清晰嗎？（大家異口同聲：很清晰），但是為什么做不下去呢？大家想一想，如果堅(jiān)持下去能不能成功？

生：一定可以成功，但是太復(fù)雜，

師：這就是道路是曲折的，但是前途是光明的.（全班大笑）那么一道問題，我們分類討論需要分7類，是有點(diǎn)復(fù)雜了，如果是我，我也不想做下去了，那么大家想一想，還有沒有辦法可以簡(jiǎn)化我們的分類？

師：非常好，生3有效的簡(jiǎn)化了我們的問題，當(dāng)a>0時(shí)，不需要進(jìn)行討論了，那么a<0時(shí)是否也能簡(jiǎn)化呢？

此時(shí)大家再一次陷入沉默，

生4：當(dāng)a<0時(shí)，此時(shí)是開口向下的二次函數(shù)，最大值除了在x=0或者x=l處取得外，還有可能在對(duì)稱軸x=a+2/2a處取得，而此對(duì)稱軸又是變化的，那就必須對(duì)它進(jìn)行討論了，我認(rèn)為不能簡(jiǎn)化了，

此時(shí)學(xué)生幾乎都點(diǎn)頭表示贊同.

師：好，那我給大家舉一個(gè)生活中的例子，比如說我比我們班的所有同學(xué)都重，大家能猜猜我大概有多重嗎？

此時(shí)班級(jí)再一次沸騰起來，下面都在猜測(cè)我的體重，

生5：至少60KG.

師：為什么？

生5：因?yàn)槲沂俏覀儼嗟囊粏T，而我是60KG呀，您比我們班所有同學(xué)都重，所以你至少60KG.

此時(shí)，其他學(xué)生大笑，

師：大家靜下來，想一想生5所說的有沒有道理，如果有道理，能不能把他說的話提煉出數(shù)學(xué)的語言，有分7類，而是一類也沒有分，大家想明白嗎？對(duì)于分類較多的問題，我們?nèi)绾翁幚恚?/p>

生8：討論范圍過于廣，特殊值來幫忙.

師：（總結(jié)）生8總結(jié)的特別好，如果我們分類討論的類特別多時(shí)，我們可以嘗試先帶入特殊值進(jìn)行縮小參數(shù)的范圍，從而減少我們分類討論的類，

下面我們看一個(gè)例子：

學(xué)生很快得到了結(jié)果，并且大大簡(jiǎn)化了分類討論，下面演算的同學(xué)也大多數(shù)很快得到了結(jié)果，實(shí)現(xiàn)了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，也讓學(xué)生深刻體會(huì)了特殊值方法的作用.

3 課后反思

3.1 抽絲剝繭，查找錯(cuò)因

拿到學(xué)生的考試成績(jī)，除了分析成績(jī)以外，還要分析在丟分嚴(yán)重的題目上的錯(cuò)因：有些是知識(shí)上的漏洞;有些是方法掌握不牢固;有些本身是易錯(cuò)點(diǎn);有些是難點(diǎn)等等，對(duì)于難點(diǎn)的突破，不能簡(jiǎn)單地分析一下題目，講講答案就行了，要分析學(xué)生沒有突破難點(diǎn)的原因，要做到這點(diǎn)就不能僅僅看學(xué)生的試卷了，要深入學(xué)生答題過程的想法，讓學(xué)生再現(xiàn)答題方法和思路受阻點(diǎn)，本節(jié)課選擇在課堂上還時(shí)間給學(xué)生，讓學(xué)生大膽說出自己的思路和困惑，從而精確“號(hào)脈”.

3.2 關(guān)注新知生長(zhǎng)點(diǎn)，合理切入答案

找到學(xué)生答題上的受阻點(diǎn)，接下來就是如何讓學(xué)生理解答案的合理性，并接受答案，從中學(xué)會(huì)分析問題和解決問題的方法，本節(jié)課筆者并沒有直接把答案告訴學(xué)生，而是采取舉例子引導(dǎo)的方式，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)并總結(jié)方法，課堂教學(xué)是富有鮮活個(gè)性的靈動(dòng)生命之間的對(duì)話與交流，我們要關(guān)注學(xué)生對(duì)新知的理解程度，創(chuàng)設(shè)合理的情景來切入解法，而不是直接把把答案灌給學(xué)生.

3.3 完善教學(xué)環(huán)節(jié)，有效突破難點(diǎn)

現(xiàn)在有不少的教師在測(cè)試結(jié)果下來后抱怨：“這道題我講許多遍了，學(xué)生還是不會(huì)！”“這種方法我上周剛剛講過，怎么還是不會(huì)？”

殊不知這種現(xiàn)象的出現(xiàn)正是前面的課堂教學(xué)環(huán)節(jié)中出現(xiàn)了偏差，但是卻沒有引起教師的深度反思，然后在試卷講評(píng)環(huán)節(jié)上，也沒有研究學(xué)生的錯(cuò)因，并制定切實(shí)可行的評(píng)講方式，依舊只是把解法機(jī)械重復(fù)，造成學(xué)生依舊無法突破難點(diǎn).

學(xué)生對(duì)教學(xué)難點(diǎn)的突破是一個(gè)反復(fù)的過程，從難點(diǎn)的出現(xiàn)、難點(diǎn)的測(cè)試，到學(xué)生的反饋、難點(diǎn)的重現(xiàn)，需要做持續(xù)性的關(guān)注，要根據(jù)學(xué)生對(duì)難點(diǎn)掌握情況的生成，對(duì)我們預(yù)設(shè)的內(nèi)容進(jìn)行改進(jìn)，從而幫助學(xué)生有效突破難點(diǎn).

4 總結(jié)

學(xué)生對(duì)知識(shí)方法的掌握，是一個(gè)綜合性的工程，需要我們對(duì)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行反思，對(duì)學(xué)生的掌握程度需要做持續(xù)性的追蹤，從而，定制出與學(xué)生現(xiàn)狀相吻合的教學(xué)方法與教學(xué)策略，這是一個(gè)動(dòng)態(tài)的長(zhǎng)期的過程，指望畢其功于一役，是不行的.