函數思想方法在非函數型不等式中的運用

黃如炎

有些難度較大的不等式（最值）問題，表面看似與函數無關但背后往往蘊藏著某個函數，如能揭示所隱含的函數，通過研究函數的性質與圖象可化難為易，此類不等式（最值）問題在近年高考壓軸題、競賽題和數學問題中時有出現，學生不知所措，束手無策，應引起教師教學上的重視，運用函數思想方法解決非函數型不等式（最值）問題的關鍵在于根據不等式結構特征或將不等式變形轉化后構建以某個量為自變量的函數，利用導數研究函數的單調性、最值、極值、切線和圖象后使問題獲解，探尋與構建不等式中蘊藏函數的方法機智靈活多樣，主要有以下幾種情境與對策.

方法提煉 對某些多元對稱不等式，可利用不等式等號成立時函數取得極值探尋不等式g（a）≥h（a），即構建函數f（x）=g（x）一h（x）解決問題，此方法比利用切線尋找函數的一次估計式更具有一般性.

例8[2] （《數學通報》數學問題2080）正數a，b，c滿足a+ 2b+ 3c≤abc，求5a+ 22b+c最小值.

本問題難度較大，引起了許多中數研究者的關注和探究，問題提供人是在賦予a ，b，c具體值的情況下設置本問題，可根據已知a，b，c值和均值不等式取等號的條件對式子進行變形配湊后用均值不等式求出最值[3]，但在外人看來這種變形分拆神秘莫測，文獻[4～6]通過待定系數法、算術平均不等式、加權冪平均不等式等方法進行探究，雖然揭開了命題者解題的神秘面紗，但都涉及到多元高次方程，求解過程十分艱難，下面通過構建函數既輕松解決問題又開啟新的思維方式.

方法提煉 對某些關于a，b，c式子最值，可先構建關于某個字母的函數f（x，b，c）（或f（x，a ，c），f（x，a，b）），利用導數求出最值g（b，c）（或g（a，c），g（a，b0）），再構建函數g（x，c）（或g（x，a），g（x，b）），利用導數求出最值h（c）（或h（a），h（b）），再求出h（c）（或h（a），h（b））最值.

《普通高中數學課程標準》 （2017年版）對學生的邏輯推理素養水平的要求包括：“對于新的數學問題，能夠提出不同的假設前提，推斷結論，形成數學命題;對于較復雜的數學問題，能夠通過構建過渡性命題，探索論證的途徑，解決問題”[7].解決難度較大的數學問題，往往需要提出某個假設或引理，構建函數是提出假設和引理的有效途徑之一，在非函數型不等式（最值）問題中，通過探尋與構建函數合乎情理地探求不等式求證（解）思路，有助于培養學生理性思維和高水平邏輯推理素養.

參考文獻

[1]黃兆麟.數學問題2298解答[J].數學通報，2016（5）：64

[2]黃兆麟.數學問題2080解答[J].數學通報，2012 （9）：封底

[3]黃兆麟.2080號題是這樣編出來的[J].數學通訊（下半月），2015 （11）：39-61

[4]王淼生.追尋數學問題2080解答本來面目[J].數學通報，2013 （11）：58-61

[5]楊先義.也談數學通報數學問題2080的解答[J].數學通訊（下半月），2014（11）：31-34

[6]張青山.對數學問題2080的探究[J].數學通報，2016 （12）： 52-54

[7]中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準[M].北京：人民教育出版社，2017