例談從解題教學發展學生數學思維

潘穎藝

在學習完必修四中任意角和弧度制、任意角的三角函數，以及同角三角函數的基本關系的知識之后，下文題目作為課堂練習的一道題目，在教學中，學生呈現了多種解題思路，有效促進了學生數學思維的發展.

3 教學思考

3.1 多角度的條件表征暴露學生解題的思維過程

本題原本的設計意圖是鞏固學生對同角三角函數的基本關系相關知識，然而，學生解題后的反饋呈現多種的思維過程，超出原本教學預期，對于tanα=2而言，學生表現出不同理解形式：一是如生1所說的，將tanα看作一個整體，將所求式子齊次化，通過“1”的代換和弦化切的過程，最終代入求解;二是如生3所說的，將tanα=2化為sinα=2cosα，構建關于sma，cosα方程組并解方程組，以求得答案;三是如生4所說的，利用單位圓中的任意角的三角函數的定義，從角α終邊與單位圓的交點橫、縱坐標切入;四是生5所說的，從角α入手，從形的角度，幾何直觀地解釋tanα，并運用終邊相同的角的知識進一步求解，不同tanα的表征，展現學生思維的不同“悟”的維度，以及暴露出學生對數學知識內容掌握程度，實現從“知其然”到“知其所以然”的跨越.

3.2 發展數學思維促進學生數學核心素養的形成和發展

數學是思維的科學，站在大問題的教學層面看，對tanα的理解，既從代數角度思考，即通過將tanα整體代入，或構建sinα，cosα的方程組，在數學運算和邏輯推理中，融入整體思想和方程思想等，又從幾何角度思考，構造一個直角三角形的邊角關系，在解答中融入數形結合思想等，盡管學生在解題過程中出現諸如：用銳角代替tanα中角α，以偏概全，或對x，y，r符號突然出現等，但是這才真正展示原生態的課堂教學過程，學生能夠在思維最近發展區自主建構知識網絡系統，不斷地完善知識間的聯系，也如實地反映學生的螺旋上升的認知規律，教師也才能夠及時有效地理解數學、理解學生、理解教學的水平，正如傅種孫先生所說：“以方法為經，以教材為緯”，進而“啟發學者，示以思維之道”[1]，實現“何由以知其所以然”.

參考文獻

[1]章建躍.核心素養統領下的立體幾何教材變革[J].數學通報，2017 （11）：1—618