數學核心素養下函數概念的教學設計

卜凡敏 黃曉學

我國《普通高中數學課程標準（2017年版）》明確指出：“在學習數學和應用數學的過程中，學生能發展數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等數學學科核心素養，”[1]函數是現代數學最基本的概念，在解決實際問題中發揮重要作用，函數也是貫穿高中數學課程的主線，本文通過對函數概念的教學設計，來闡述如何將數學核心素養真正落實到基礎教育的主陣地——課堂教學.

1 教學過程設計

1.1 創設情境，提出問題

情境播放嫦娥一號月球探測衛星成功發射的視頻（圖略）.

教師：衛星在發射的過程中，我們關注的是衛星與地面的距離隨時間的變化，其實早在十六世紀，物體運動的研究已成為自然科學的中心問題，數學家、科學家、思想家都強調用數學的方法和思想來研究事物或現象的變化規律，今天我們就來探討如何用數學的眼光描述運動變化量之間的依賴關系. 設計意圖正如弗賴登塔爾所說：數學化應從“原始的現實開始”，而非接近數學的現實，通過實際情境引發學生思考，激發探究的欲望，概括出蘊涵于問題中變量之間的依賴關系，從而初步抽象出所要研究的數學對象即函數概念.

1.2 喚醒經驗，產生認知沖突

問題1 請同學們回憶初中函數概念是如何定義的？初中我們學過哪些函數？

設計意圖建構主義理論認為，學習是學習者基于原有的知識經驗生成意義、建構理解的過程，通過回顧初中函數概念的學習，激活學生原有知識，使“熟悉”的函數成為新知識的“生長點”，推動學生思維的參與.

問題2 請同學們思考“y=0”是不是函數？并說出判斷的理由，

學生1：“y=0“不是函數，因為y與x沒有關系，y不隨x的變化而變化，所以它不是函數，

教師：我們能不能把“y=0”寫成含有y和x的形式呢？

學生2：“y=0”可以改寫成“y=O×x”的形式，對于x取任意值，y都等于0.

教師總結：無論x怎樣變化，y都是“以不變應萬變”，這里的“應”我們可以理解為“對應”的意思，也就是說對于x的每一個值，y都有唯一確定的值“0”和它對應，今天，我們就從“對應”這個新的視角來探究函數概念.

設計意圖 通過設置有思考力度的數學問題，引起學生的思維沖突，產生認知失調，從而打開思維的閘門，深入挖掘函數概念的本質，在教師的引導下，“順理成章”地抽象出函數概念的本質屬性與核心部分即“對應”，使教學活動的推進與學生認知活動的發展產生“共振”.

1.3 師生交流，感悟對應關系

用幾何畫板演示課本第15頁的3個問題（人教A版高中必修1）.讓學生推斷“對應關系”，判斷變量之間是否是函數關系？并嘗試用集合語言來刻畫函數.

設計意圖教師利用《幾何畫板》創設體現運動與變化的問題情境，學生直觀的感受到函數是描述事物運動變化規律的數學模型，學生初步建立對“對應關系”的認識，并啟發、引導學生用集合和對應的語言描述變量之間的依賴關系，發展學生用數學語言進行交流的能力，在師生交流中，促進學生思維參與，形成和發展學生的邏輯推理素養，使學生體會到數學的嚴謹性.

1.4 自主探索，發現函數概念本質屬性

問題3小組討論：分析、歸納以上3個實例，你能發現它們有什么不同特點和相同點嗎？

學生3：不同點：三個實例的對應關系不同，實例1用解析式來刻畫變量之間的對應關系，實例2用圖象刻畫變量之間的對應關系，實例3用圖表刻畫變量之間的對應關系，相同點：都有兩個非空集合和一個對應關系.

教師補充：三個實例中都是數到數的對應，所以函數有兩個非空數集，而且兩個非空數集間有一個確定的對應關系，至于用什么方法（解析式、圖象、表格）建立對應是完全不重要的.

教師追問：y與x的這種“對應關系”與前面提到的“依賴關系”含義一致嗎？

設計意圖 函數概念的獲得是一系列弱抽象的過程，將初中數學教材中的“變量說”進一步抽象為高中數學教材中的“對應說”，把更加抽象的“對應說”與現實情境中的事物、現象和抽象層次較低的“變量說”聯系在一起，逐步“去情境化”，凸顯本質屬性，最終脫離較低層次的“變量說”的支持，發展為更為一般的“對應說”，讓學生意識到函數作為“依賴關系”的描述和作為“對應關系”的描述本質是一致的，是從不同的側面來認識函數概念的[2].

1.5 巧用類比，引入函數符號

問題4初中我們學過很多運算符號，你能回憶起哪些呢？

學生4：算術平方根符號;絕對值符號Ⅱ正弦符號sin;余弦符號cos等.

教師板書：算術平方根符號√：b→√b;絕對值符號II：6一lbl;正弦符號sin：B→ sinB;余弦符號cos：B → cosB.

教師追問：類比以前學過的運算符號，我們是不是可以把3種“對應”類型（解析式、圖象、表格）用一個數學符號統一表示成對應關系？

師生活動：教師在學生探究的基礎上引入對應關系f并板書：f：x→y;A→ B.（f也可以用g，h等表示）.讓學生交流討論對“對應關系f”的含義或作用的理解，并嘗試用數學符號語言來更加直觀、簡潔的表達數集A中變量x與數集B中變量y之間的“對應關系”，

師生總結：對應關系的含義，簡單地說就是，對變量x施加一個對應關系后得到變量y，對于數集A中的任意一個數x（在黑板上寫下x），按照某種確定的對應關系f（在黑板上寫出“f”，并用括號將x括起來），得到數集B中唯一的y值（在黑板上已經寫下的“f （x）”前寫出“y=”），從而寫出等式y=f（x），也就是說初中學習的y與f （x）本質是一樣的，都表示自變量x所對應的函數值，在師生總結的基礎上教師給出課本上對函數概念的完整敘述.

教師追問：那么你能不能準確地判斷出問題2中的“y=0”是不是函數？

設計意圖 如果不能準確地把敘述性語言轉化為數學符號語言，則談不上數學的應用和具備良好的數學思維能力，由運算符號√、II、sin、cos類比引導學生得出對應關系的符號f，進而給出“函數概念”的定義，使學生不但容易理解概念，而且學會如何將概念轉換成數學符號語言，促進數學抽象思維的發展.

1.6 借用比喻，深化對函數概念符號的理解

問題5 符號f（x）最初是由克雷羅和歐拉在1734年前后引進的，因其形象、直觀，一直沿用至今，而函數符號y=f（x）是由德國數學家萊布尼茲在18世紀引入的，他用符號f （x）替換少，即x→f（x）=y，有人說函數y=f（x），x∈A是個“產品加工廠”，談談你的理解，這里的f （x）是“f”和“x”的乘積嗎？

師生總結：“f”和“x”不是乘積關系，而表示x對應的函數值，如f（x）= 3x2+1，當x=2時，函數值是13.簡便起見，我們分別把它寫成f（2） =13.一般地，如果x=a時，函數對應的值是6，那么，就可以記為f（a）=b.

教師追問：你能求出f（a+1）、f（a）+1分別是多少嗎？

設計意圖 數學的邏輯推理和運算離不開數學符號語言，如果不能理解和把握符號語言的語義和句法，就不可能進行數學推理和運算，借用“產品加工廠”讓學生形成感性認知，然后再去偽存真，抽象出共同的本質屬性，達到對函數抽象表達理性思維層次的認知，形成對函數概念的本質特征和定義本身的特點與含義的理解.

1.7 概念變式，深度剖析函數概念

問題6 你認為函數的定義中哪些是關鍵詞呢？

學生5：定義域、值域、對應關系.

教師總結：函數是一個整體，它必須具備：兩個集合（定義域和值域），一個對應（從定義域到值域的單值對應），因此我們稱這3部分為函數的三要素，它最完整的表示是y=f（x），x∈A，因為居函數核心地位的是對應關系，所以在不致混淆的情況下，可以簡化寫為f（x）或f.

師生活動：讓學生分析找出前面三個例題中函數的三要素，并判斷表示炮彈飛行高度h與時間f的函數x=y²與一般函數h=130t - 5t²是否相等，討論如果兩個函數相同，那么它們應該滿足什么條件，

設計意圖 給出了概念的定義并不意味著概念就形成了，教師要引導學生從各個不同的角度、不同層次和不同情形去審視概念，探究和感受概念內涵的豐富性，讓學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”中探求“變”的規律，培養學生用數學的眼光觀察世界.

設計意圖 “數學是思維的體操”，函數概念的學習最終是為了獲得數學思維過程訓練以及更廣泛的運用，從多角度、多層次、全方位地編制類型豐富的變式題目，學生經歷艱苦的探索過程，從而讓學生學會思維，并能逐步學會想得更清晰、更全面、更深入、更合理[3]，培養學生用數學的思維分析世界.

問題9課本第21頁的例5和例6（人教A版高中必修1）.

設計意圖 通過例5和例6來了解簡單的分段函數，并能夠解決簡單的實際問題.

1.9 小結反思，提煉深化概念

問題10 與初中學習的函數定義相比較，從知識、能力、思想等方面談談你對函數有什么新認識？

設計意圖 回顧獲得函數概念的整個艱苦歷程，發現這是對學生“學”的一種深化過程，通過問題引導學生從總體上理解和掌握知識，培養學生善于思考、歸納總結的能力.

1.10 課后思考，鞏固運用概念

問題11 我們為刻畫描述現實世界中運動事物或變化現象而構建了函數模型y=f（x）.請你在現實生活中找出至少3個存在函數關系的實例（其中包括用圖象法、列表法、解析法表示的函數），并指出它們的三要素.

設計意圖 數學模型構建了數學與現實世界的橋梁，使得數學回歸于外部世界，詩人陸游有云，“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，學生通過建立函數模型來描述、解釋實際問題，不但可以學會在實際情境中根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數，并理解函數圖象的作用，還可以體驗成功解決問題所帶來的成就感，培養學生的數學情感素養.

2 教學設計反思

函數是現代數學最基本的概念，是中學數學的紐帶，其實質是反映變量之間依賴關系的抽象模型，函數概念作為基本的數學語言和工具，在解決問題和表達思想中發揮重要作用，學生對函數概念的學習往往存在很多困難，本文在核心素養背景下構建了該內容的教學設計，通過教學反思凝煉出如下教學主張[4]：（1）教學目標設計要以發展學生的數學核心素養為導向、為宗旨，函數概念教學的目標是幫助學生理解基于對應關系的函數定義，獲得數學抽象、直觀想象、邏輯推理和數學運算等方面的數學素養.（2）教學策略的設計要基于函數概念的數學本質，基于學生學習的原有經驗，一方面，問題是數學的心臟（哈爾莫斯），數學的本質是解決問題、描述和理解結構與范型，為了揭示函數概念的數學本質，通過“問題驅動”的教學方式，以“問題來龍一問題實質一問題去脈”為抓手設計教學流程，另一方面，新的學習科學認為，學習是原有經驗的遷移，為了保持數學課堂的連貫性，在情境設計時要時刻關注學生過去、現在和未來的經驗，并因材設計熟悉的情境、關聯的情境、綜合的情境，制造不同層次的認知沖突.（3）教學評價設計要通過分層問題測驗學生“四基四能”的獲得，促進核心素養的達成，通過這樣的教學能讓學生理解函數概念的本質，感悟數學的精神、思想和方法[5].

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017

[2]賈丕珠.函數學習中的六個認知層次[J].數學教育學報，2004，13（3）：79-81

[3]鄭毓信.數學教育視角下的“核心素養”[J].數學教育學報，2016，25（3）： 1-5

[4]黃曉學.良好的數學教育——基于教學視角[J].扛蘇師范大學學報（自然科學版），2016 （1）： 43-46

[5]米山國藏.毛正中，吳素華譯，數學的精神、思想和方法[M].成都：四川教育出版社，1986