對一道課本例題的逆向探究

孫承雄

1 原題呈現

人教A版《數學》（選修2-1）第70頁有這樣一道例題（例5）：過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線BD平行于拋物線的對稱軸.

2 逆向探究

如果把例題的條件、結論調換，那么得到它的逆命題是否仍為真命題呢？經過仔細的探究，本文給出了肯定的回答，

性質1 過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，點D在拋物線的準線上，若直線BD平行于拋物線的對稱軸，則直線AD經過原點O.

3 拓展延伸

圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線，對拋物線成立的結論是否同樣適用于橢圓和雙曲線呢？經過深入的研究，得到了下面的結果，

性質2 過橢圓焦點F的直線交橢圓于A，B兩點，點D在焦點F對應的準線上，若直線BD平行于橢圓的對稱軸，則直線AD經過定點（該定點是準線與對稱軸的交點和焦點F的中點坐標）.

當曲線變為雙曲線時，采用同樣的方法，也可以得到下面的結論：

性質3 過雙曲線焦點F的直線交雙曲線于A，B兩點，點D在焦點F對應的準線上，若直線BD平行于雙曲線的對稱軸，則直線AD經過定點（該定點是準線與對稱軸的交點和焦點F的中點坐標）.

4 一般性的結論

通過上面的討論，我們可以得出，圓錐曲線中與焦點、準線有關的一般性的性質：過圓錐曲線焦點F的直線交圓錐曲線于A，B兩點，點D在焦點F對應的準線上，若直線BD平行于圓錐曲線的對稱軸，則直線AD經過定點（該定點是準線與對稱軸的交點和焦點F的中點坐標）.