例談數學文化試題的三個層次

丘遠青

近年，在高三數學試卷中頻繁出現具有“數學文化”背景的試題，試題出現伊始確實給人耳目一新之感.但見得多了，我們就會發現，大部分此類試題的命制方式就是把一道數學題從古代搬到現代，這樣造成的一個結果是，學生對這種題僅停留在“就題解題”的層面，也許見到了“文化”，但很難領會到“數學文化”中蘊含的數學思維價值，甚至很多教師對數學文化的認識也比較淺薄.高質量的數學文化試題應源于數學文化而高于數學文化，體現數學文化的過程性特點，考查數學文化背后所蘊含的數學思想和數學方法，將數學文化試題置于整個數學思維訓練的大局中，而不只是一種穿越到今天的數學題.

面對數學文化，究竟應該考什么？怎樣考？通過對近幾年大量的數學文化試題的研究，筆者認為高質量、有價值的數學文化試題應有如下三個層次.

第一層次以數學文化為試題，滲透中國古代傳統文化

以數學文化為試題的特點是直接取材于數學名著或名題，借數學名著或名題中提出的數學問題，檢驗考生數學基本知識和基本技能掌握的情況.

例1（2015年新課標I卷.6）《九章算術>是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米（如圖1，米堆為一個圓錐的四分之一）米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有

A. 14斛

B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛

例2（2017年高考全國I卷·理2）如圖2所示，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是

A.1/4

B.π/8

C.1/2

D.π/4

評析例1源于中國古代數學名著《九章算術》卷第五《商功》之[二五]，例2圖中圓形區域為中國古代的“太極圖”，兩道試題均取材于中國傳統文化，又巧妙地將中國傳統文化與現代教育元素相結合，對培養學生認識中華傳統文化有著深刻的教育意義，如例2，“太極”是中國古代的哲學術語，意為派生萬物的本源，太極圖形象地表達了陰陽輪轉、相反相成是萬物生成變化的哲理，試題以此為情境，設計一個幾何概型以及幾何概率計算問題，貼近考生實際生活，通過問題的求解，使考生體會概率在生活中的應用，又傳播了中國傳統文化.

以數學史為試題情景材料，可以引導學生理解數學、培養學習數學的興趣，可以引導學生探究解決數學問題的過程，這樣設計的試題，可以考查學生的基礎知識和基本技能，既符合考生的認知水平，又可以引導考生關注中華傳統文化.

第二層次以數學文化為背景，滲透數學精神

以數學文化為背景的試題，其特點是滲透數學精神，考查學生應用數學文化中所蘊含的數學思想方法解決問題的遷移能力.

例3 如圖3，圓錐SO的軸截面ASAB是邊長為4的正三角形，M為母線SB的中點，過直線AM作平面β⊥面SAB，設β與圓錐側面的交線為橢圓C，則橢圓C的短半軸為____.

A.√2 B.√10/2 c.√3 D.2

分析歷史上，許多人從純幾何角度出發對“一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓”這個問題進行過研究，其中數學家Germinal Dandelin的方法非常巧妙，本題的命制是以“Dandelin雙球探究圓錐曲線的生成”為背景，取材于人教A版數學選修2-1第二章圓錐曲線與方程的“探究與發現一為什么截口曲線是橢圓”的內容，在這道試題中，通過設問將不同知識和方法有機整合，對知識的考查側重理解和運用，讓學生獨立思考，分析問題，研究問題，并最終解決問題，而采用“Dandelin雙球”實驗所蘊含的思想方法，無疑是最有效的.

解析 如圖4，作球O與圓錐側面及平面β相切，切點分別為C，F，則F為橢圓的一個焦點.

評析數學是學習、培養理性思維的一個主要途徑，數學精神就是重視理性認識活動，以尋找事物的本質、規律及內部聯系的精神，在試題中滲透數學精神，可以體現反思性、體現探究性、體現獨立思考、體現遷移能力等，該解法延續了“GerminalDandelin雙球”的解法，解法筒捷高效，使“GerminalDandelin雙球”這一數學文化又重現生機，發揮了巨大威力，不禁令人拍案叫絕.

第三層次 以數學文化為載體，滲透數學應用

以數學文化為載體的試題，其特點是在試題中滲透數學應用，通過設計適合的試題情境，要求學生能夠利用所蘊含的數學文化知識分析、解決實際問題，考查考生分析問題、解決問題的能力.

分析 對該題的解答多數考生，甚至教師都是采用特殊法解決，這無疑背離了該題命制的意圖和考查目的，本題在試題呈現上似乎與數學文化無關，而實質上是以著名的“阿波羅尼斯圓”為背景（在人教A版教材上與其相關的題目也有兩處）.如果沒有阿波羅尼斯圓的知識，你可能發現不了題中的圓0就是阿波羅尼斯圓這是一個巧妙的隱含條件，這樣就會給問題的解決帶來困難，甚至無法理解問題的數學本質.

解析 根據阿波羅尼斯圓的定義可知，題中的點M，N都在阿波羅尼斯圓上，如圖6，設圓0與y軸的兩個交點分別為P，Q，則P（O，1），Q（0，-1）.

例5（人教A版必修五第104頁B組第6題）兩次購買同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數量一定;第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢數一定，哪種購物方式比較經濟？能把所得結論作一些推廣嗎？

分析 本題以兩個實際購物方案為背景，引導學生應用不等式有關知識分析兩種購物方式的相互關系，試題的設計源于社會實際，體現了數學與我們社會生活的密切相關性.

評析 本題以兩個實際購物方案為背景，設計實際問題，考查學生處理數據及運用不等式知識（調和平均數、幾何平均數、算術平均數以及平方和平均數）解決問題的能力，試題貼近生活，具有現實意義，在提高學生學習數學的興趣，培養學生的應用意識，提升學生解決實際問題的能力等方面有著很好的引導作用.

數學文化是數學學科的一個有機組成部分，數學試題在滲透數學文化時，應當注意與數學知識有機結合，注重體現其理性思維的本質內涵;數學試題在滲透數學文化時，可以通過創設新的情境、改變設問方式，選取適合的知識內容等多種方法滲透數學文化，滲透現代數學思想和方法，增加基礎性、綜合性、應用性、創新性的要求;高考試題滲透數學文化的重要意義在于能充分發揮高考命題的育人功能，可以適當引導中學數學的教學，使得更多的教師關注數學文化，研究數學文化，將數學的本質教授給學生，而學生通過數學文化的熏陶，可以形成和踐行社會主義核心價值觀，這就是數學文化試題應具有的三個層次.

高質量、有價值的數學文化試題，一定是將數學文化、數學知識、思想方法融為一體，一定是滲透中國古代傳統優秀文化，一定是源于數學文化而高于數學文化.

參考文獻

[1]陳昂，任子朝.突出理性思維，弘揚數學文化[J].中國考試，2015 （3）：10—13

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[3]教育部考試中心.高考理科試題分析（語文、數學、英語分冊）[M].北京：高等教育出版社，2017