基于微分幾何方法的飛翼無人飛行器解耦飛行控制*

屈高敏,李繼廣

(1 西安航空學(xué)院,西安 710077;2 南京航空航天大學(xué),南京 210016)

0 引言

飛翼布局飛機(jī)以其良好的氣動性能和隱身性能,受到各國的高度關(guān)注。許多現(xiàn)代飛機(jī)都采用了飛翼布局方式,如美國B-2轟炸機(jī),測試中的美國X-47B、中國的利劍、法國的神經(jīng)元和歐洲的雷神等。文獻(xiàn)[1]指出,有人機(jī)/無人機(jī)協(xié)同作戰(zhàn)是可預(yù)見未來主要的作戰(zhàn)方式之一。無人機(jī)艦載機(jī)的價值已得到各國的普遍重視,各國正在研制的無人作戰(zhàn)飛機(jī)幾乎都選擇了飛翼布局形式。

線性控制理論的一些處理問題的思想為非線性控制理論的發(fā)展提供了有益的借鑒。由于直接討論這些低維子流形比較困難,很多研究者希望把這類問題通過數(shù)學(xué)方法或數(shù)學(xué)變換的方式將原問題化為線性問題來研究。這就是非線性系統(tǒng)的線性化思想,在理論上來講是比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?/p>

動態(tài)逆在無人機(jī)[2]、直升機(jī)[3]、先進(jìn)短距起飛/垂直著陸飛機(jī)[4]以及大迎角超機(jī)動飛機(jī)[5]等飛控研究中都得以成功的應(yīng)用。動態(tài)逆方法在求解的過程中計算量很大[6]。在理論上,動態(tài)逆方法的時標(biāo)分離原理也被許多學(xué)者所詬病。

自1973年Krener的研究以來[7],學(xué)者紛紛關(guān)注于在幾何可行的條件下,非線性系統(tǒng)的精確線性化問題。近年來,微分幾何方法[8]已日益成為非線性系統(tǒng),尤其是對仿射非線性系統(tǒng)研究中的重要手段之一。

在文獻(xiàn)[9]中,基于微分幾何理論提出了一種新的非線性動態(tài)預(yù)測方法。對于強(qiáng)耦合系統(tǒng)的優(yōu)化問題,文獻(xiàn)[10-11]給出了應(yīng)用微分幾何理論的解耦設(shè)計方法。文獻(xiàn)[12]在研究正則靜態(tài)線性化問題的基礎(chǔ)上,對問題可解性進(jìn)行了闡述說明。文獻(xiàn)[13-14]解決了幾類正則動態(tài)線性化問題,是通過加積分器實現(xiàn)線性化,并給出幾個充分條件得到的。二十世紀(jì)以來,多種多樣的近似線性化方法,如線性化族[15]、奇異攝動[16-17]、偽線性化[18]、擴(kuò)展線性化[19]和近似輸入-輸出線性化[20]等,是為了解決微分幾何方法的精確模型而發(fā)展的方法。

微分幾何方法在飛控中有許多應(yīng)用。例如,V/STOL[21]巧妙采用近似輸入輸出線性化,直升機(jī)[22]及CTOL飛機(jī)的控制設(shè)計中采用狀態(tài)反饋線性化,等等。G.Meyer等人[22]采用12個非線性常微分方程模擬直升機(jī)的動態(tài)特性,將系統(tǒng)置于三角結(jié)構(gòu)中,對非線性系統(tǒng)進(jìn)行控制,導(dǎo)出控制系統(tǒng)——Frobenius I型直升機(jī)的自動駕駛儀。

雖然基于微分幾何理論的精確線性化方法在理論和實踐方面取得了一系列成果,但是相對其它方法,該方法的成果依舊較少。在實踐方面,主要成果也主要集中在機(jī)器人和航天控制領(lǐng)域。造成這種情況的原因有:微分幾何理論在物理意義上抽象難懂,不便于工程上的推廣;該理論所要求的放射模型很多實際系統(tǒng)不能滿足。

文中針對飛翼無人飛行器的耦合特點(diǎn),對無人飛行器姿態(tài)模型適當(dāng)處理以滿足基于微分幾何理論的精確線性化方法的要求。從而對飛翼無人飛行器的姿態(tài)控制進(jìn)行了解耦設(shè)計。

1 試飛數(shù)據(jù)分析及研究意義

無人機(jī)的飛行耦合現(xiàn)象(如圖1)出現(xiàn)在由平飛狀態(tài)轉(zhuǎn)入滾轉(zhuǎn)狀態(tài)時,當(dāng)偏航與俯仰阻尼力矩忽略不計時,側(cè)滑角和迎角是相互等幅轉(zhuǎn)化的。當(dāng)氣流快速變化時,作用在無人機(jī)上的力和力矩的波動是不可預(yù)知的,會造成無人機(jī)的轉(zhuǎn)彎不協(xié)同,帶來不利的影響。機(jī)動性的強(qiáng)弱會影響耦合的效果。

圖1 無人機(jī)運(yùn)動耦合

從試飛數(shù)據(jù)可以看出,無人機(jī)轉(zhuǎn)彎過程中存在運(yùn)動耦合現(xiàn)象,有側(cè)滑角出現(xiàn),使得無人機(jī)航跡的跟蹤出現(xiàn)誤差。在起飛第一次轉(zhuǎn)彎時,出現(xiàn)了最大1 460.0 m的航跡跟蹤誤差,如圖2、圖3所示。由于飛翼無人飛行器獨(dú)特的氣動外形,使其在飛行過程中呈現(xiàn)顯著的非線性,呈現(xiàn)出復(fù)雜的耦合效應(yīng)。除前文提到的運(yùn)動耦合,飛翼無人飛行器的耦合現(xiàn)象還包括:舵面的氣動力矩耦合,無人飛行器剛體運(yùn)動的慣性耦合,氣流角交替變化的運(yùn)動耦合。因此,對飛翼無人飛行器進(jìn)行解耦設(shè)計,對提高無人飛行器的飛行品質(zhì)具有重要的意義。

圖2 無人機(jī)的姿態(tài)

圖3 無人機(jī)飛行航跡

2 無人飛行器解耦兩種常用方法分析

2.1 直接線性化方法與分析

設(shè)仿射非線性系統(tǒng):

(1)

式(1)的直接線性化方法是應(yīng)用求解微分方程的方式計算求得原系統(tǒng)的一個微分同胚T,使得原系統(tǒng)在坐標(biāo)變換(式(2))和控制率(式(3))作用下,變換得到線性狀態(tài)空間的形式(式(4))即:

z=T(x)

(2)

u=φ(x)+ω-1(x)υ

(3)

(4)

假定系統(tǒng)(式(1))經(jīng)坐標(biāo)變換(式(2))和控制率(式(3))作用下變換為如下形式:

(5)

由式(2)和式(1)可得:

(6)

比較式(5)和式(6)可得:

(7)

式(7)成立的充分必要條件是:

(8)

由此可得:滿足式(8)某個φ,ω,A,b和坐標(biāo)變換z=T(x)時,均能將原系統(tǒng)變換為式(5)的線性空間形式。

在狀態(tài)空間系數(shù)A和b給定的情況下,求解式(8)確定的微分方程組,即可得到φ,ω和T(x)的具體形式。

上述計算過程具有嚴(yán)密的邏輯和近乎完美的結(jié)論形式,并且狀態(tài)空間系數(shù)A和b的選取具有一定的自由度,可以滿足特殊的設(shè)計要求。但是,完美的微分方程形式背后卻是求解的困難。在大多時候,這種困難是難以克服的。

以四階單輸入單輸出系統(tǒng),選取A和b可控標(biāo)準(zhǔn)型為例來說明以上求解的困難。

單輸入單輸出系統(tǒng)可控標(biāo)準(zhǔn)型系數(shù)矩陣為:

將以上各式代入式(8)可得:

AcT(x)-bcω(x)φ(x)=

對于以上微分方程可解的系統(tǒng)而言,上述設(shè)計步驟是理想的設(shè)計方法,但很多系統(tǒng)并不是需要得到可控標(biāo)準(zhǔn)型的單輸入單輸出系統(tǒng)。即使是可控標(biāo)準(zhǔn)型的單輸入單輸出系統(tǒng)得到以上微分方程組的解析解也是困難的。根據(jù)解析幾何學(xué)可知,上述方程組在大多數(shù)情況下是不存在解析解的。

2.2 無人飛行器姿態(tài)方程的一種處理形式與分析

根據(jù)力矩定理,無人飛行器受到的力矩可表示為:

(9)

整理后可得到無人飛行器的角動力學(xué)方程:

(10)

基于上述以控制力矩(L,M,N)為輸入變量的仿射模型進(jìn)行無人飛行器姿態(tài)解耦設(shè)計,可以在很大程度上降低設(shè)計的難度,并且可以得到令人滿意的仿真結(jié)果。然而,上述設(shè)計思路并不能實現(xiàn)無人飛行器的姿態(tài)解耦控制。該設(shè)計只是實現(xiàn)了無人飛行器的力矩解耦,但在實際應(yīng)用中,無人飛行器的各種控制輸入都要落實到舵面輸入上。根據(jù)前文無人飛行器的耦合分析可知,無人飛行器的控制舵面對控制力矩存在強(qiáng)烈的耦合作用,依據(jù)該模型設(shè)計的結(jié)果依然具有強(qiáng)烈的耦合作用。

為了更好的對飛翼無人飛行器進(jìn)行解耦控制設(shè)計,以下將首先建立無人飛行器姿態(tài)放射模型。

3 無人飛行器姿態(tài)方程的仿射模型

無人飛行器的姿態(tài)方程可表示為:

(11)

式中:

從力矩的表示公式可知,無人飛行器的飛行狀態(tài)產(chǎn)生的力矩只與無人飛行器的飛行狀態(tài)有關(guān),隨飛行狀態(tài)的改變而改變,將這部分力矩稱為狀態(tài)量。控制舵面產(chǎn)生的力矩不僅與無人飛行器的飛行狀態(tài)相關(guān),還受到控制舵面的輸入的控制,這部分力矩稱為控制變量。根據(jù)以上劃分,無人飛行器姿態(tài)方程的仿射模型為:

f(x)=

(12a)

g(x)=

(12b)

4 基于微分幾何方法的無人飛行器解耦設(shè)計

4.1 微分幾何方法的一些結(jié)論

仿射型m入m出系統(tǒng):

(13)

根據(jù)文獻(xiàn)[7],有以下結(jié)論:

定理1:對于系統(tǒng)(式(13)),設(shè)矩陣g(x0)的秩為m。狀態(tài)空間精確線性化問題可解的充要條件是:存在x0的一鄰域U和定義在U上的m個實值函數(shù)h1(x),…,hm(x),使系統(tǒng)(式(13))在x0有相對階{r1,…,rm},且r1+…+rm=n。

定理2:對于系統(tǒng)(式(13)),設(shè)矩陣g(x0)的秩為m。狀態(tài)空間精確線性化問題可解的充要條件是:

1)對每個0≤i≤n-1,分布ζi在x0附近有常數(shù)維。

2)分布ζn-1的維數(shù)為n。

3)對每個0≤i≤n-2,分布ζi是對合的。

在條件中,分布式為:

(14)

定理3:對于系統(tǒng)(式(13)),設(shè)矩陣g(x0)的秩為m。存在x0鄰域U和定義在U上的m個實值函數(shù)λ1(x),…,λm(x),使系統(tǒng):

(15)

在x0有相對階{r1,…,rm},且r1+…+rm=n的充要條件是:

1)對每個0≤i≤n-1,分布ζi在x0附近有常數(shù)維;

2)分布ζn-1的維數(shù)為n;

3)對每個0≤i≤n-2,分布χi是對合的。

定理4:(Frobenius定理)一個非奇異分布完全可積的充要條件是該分布是對合的。

定理5:系統(tǒng)線性化過程,先坐標(biāo)變換后狀態(tài)反饋和先狀態(tài)反饋后坐標(biāo)變換是等價的。

以上定理是文中推理和計算的依據(jù)。其中定理1和定理2給出了系統(tǒng)能夠進(jìn)行反饋線性化的充要條件。定理3給出了構(gòu)造滿足定理1和定理2條件的系統(tǒng)輸出的方法。定理4是構(gòu)造滿足可線性化輸出函數(shù)過程中計算的依據(jù)。定理5則可以避免下文解耦計算中一些不必要麻煩。

4.2 標(biāo)稱輸出函數(shù)的構(gòu)造

由定理1和定理2知,系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)反饋線性化需要滿足以下條件:1)系統(tǒng)的輸入輸出量在數(shù)量上相等;2)系統(tǒng)的相對階之和等于系統(tǒng)狀態(tài)個數(shù)。以上兩個條件很多系統(tǒng)是難以滿足的,則在進(jìn)行反饋線性化之前需要對不滿足條件的系統(tǒng)進(jìn)行相應(yīng)的處理。

假設(shè)系統(tǒng)的輸入個數(shù)為m,在系統(tǒng)中一些狀態(tài)量是設(shè)計要求的解耦量,這些變量是系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的直接反映,或者是評判控制器好壞標(biāo)準(zhǔn)量。因此,這些狀態(tài)量的解耦線性化是系統(tǒng)必須線性化的量。這里把這些必須線性化的量稱為解耦輸出量。假設(shè)這部分狀態(tài)量的個數(shù)為m1。根據(jù)上面的條件1),則還應(yīng)該有m2=m-m1個量作為系統(tǒng)的輸出。這部分輸出量線性化與否并不是設(shè)計工作所關(guān)心的。下面論述選取這部分輸出的方法步驟。

根據(jù)定理2,系統(tǒng)的輸出應(yīng)滿足如下條件:

1)正交條件。由相對階定義,對所有x0附近的x滿足:

(16)

此式等價于:

(17a)

(17b)

(17c)

(17d)

2)矩陣非奇異要求。根據(jù)相對階定義,矩陣A(x0)在x0附近非奇異。其中:

3)相對階總和等于n要求,即r1+…+rm=n。

根據(jù)以上條件,來構(gòu)造標(biāo)稱輸出函數(shù)。根據(jù)定理2,標(biāo)稱輸出函數(shù)既要獨(dú)立解耦輸出量,又要滿足式(17c)。根據(jù)定理4可知,標(biāo)稱輸出函數(shù)是可積的。因此可得標(biāo)稱輸出函數(shù)。

4.3 仿射模型反饋線性化

經(jīng)過上面標(biāo)稱輸出函數(shù)的構(gòu)造,系統(tǒng)已滿足定理1和定理2,所以系統(tǒng)可以精確線性化。系統(tǒng)的線性化步驟如下:

選擇定義在x0鄰域的坐標(biāo)變換函數(shù)集:

(18)

把系統(tǒng)變換為m組方程:

(19)

式中:

(20)

可解得精確線性化的反饋為

u=A-1(ξ)[-b(ξ)+v]

(21)

經(jīng)過以上坐標(biāo)變換和狀態(tài)反饋,原系統(tǒng)變換為Brunovsky標(biāo)準(zhǔn)形系統(tǒng):

(22)

經(jīng)過以上步驟,可將仿射系統(tǒng)變換為標(biāo)準(zhǔn)線性系統(tǒng)。但是,計算的過程并不都是容易的。特別是式(21)中A-1矩陣的求解是很困難的。不過要得到A的表達(dá)形式并不困難。根據(jù)定理5,A-1的求解并不是必須的。

4.4 無人飛行器姿態(tài)方程線性化解耦

觀察無人飛行器飛行器姿態(tài)仿射模型式(12)可知,無人飛行器的俯仰角受升降舵控制,與其他舵面的耦合較小。所以文中的設(shè)計的首要目標(biāo)是對無人飛行器的偏航角和滾轉(zhuǎn)角進(jìn)行解耦,同時兼顧俯仰角通道的解耦。

根據(jù)式(18),可得系統(tǒng)的坐標(biāo)變換函數(shù)為:

(23)

由式(21)可得:

(24)

(25)

5 無人飛行器航跡跟蹤控制

無人飛行器的航跡跟蹤包括縱向航跡跟蹤和橫側(cè)向航跡跟蹤兩部分。其中,縱向航跡跟蹤控制主要有升降舵通道和發(fā)動機(jī)控制通道。控制器邏輯分別為:

1)升降舵控制

(26)

(27)

(28)

2)發(fā)動機(jī)控制

(29)

式中：δp 0為不同高度下的配平值,VIASg為當(dāng)前高度的平飛速度。

橫側(cè)向航跡跟蹤控制主要包括副翼通道控制和方向舵控制。其中,方向舵通道反饋信號為側(cè)滑角,以實現(xiàn)無人飛行器的協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎控制。其控制率結(jié)構(gòu)為:

1)副翼舵通道

(30)

(31)

(32)

式中:φc為滾轉(zhuǎn)角前饋指令，且：

(33)

其中：Yg為預(yù)定的航線,ψg為預(yù)定航線的航跡角。

2)方向舵通道

(34)

6 控制結(jié)果驗證

6.1 無人飛行器布局和氣動舵面分配

樣例飛翼無人飛行器的布局如圖4所示。

無人飛行器為無垂尾升力體飛翼布局,氣動舵面包括機(jī)翼后緣6片舵面和機(jī)身上一對阻力式方向舵。

發(fā)動機(jī)安裝在機(jī)身中心軸線上,推力方向通過重心。各舵面編號如圖5所示。

圖4 無人飛行器示意圖

圖5 無人飛行器舵面分布

為了減小由于飛翼無人飛行器特定氣動特性引起的各舵面間的耦合作用,對無人飛行器8片舵面進(jìn)行分配組合,使得各組舵面完成不同的控制功能,并在舵面分配時,對每一個控制通道留有一個控制余度。針對樣例無人飛行器相對于x軸對稱的8片舵面的組合復(fù)用分配表如表1所示。

表1 執(zhí)行器組合復(fù)用分配表

在表1中,將無人飛行器的氣動舵面分為7種組合方式,對每種組合方式進(jìn)行如下定義并分析其產(chǎn)生的力矩效應(yīng):

1)δ1:1、5號舵面同偏,只產(chǎn)生俯仰力矩;

2)δ2:2、6號舵面同偏,只產(chǎn)生俯仰力矩;

3)δ3:3、7號舵面同偏,只產(chǎn)生俯仰力矩;

4)δ4:3、7號舵面差動,只產(chǎn)生滾轉(zhuǎn)力矩;

5)δ5:2、6號舵面差動,只產(chǎn)生滾轉(zhuǎn)力矩;

6)δ6:4、8號舵面單偏,以阻力方向舵的形式既產(chǎn)生偏航力矩也產(chǎn)生滾轉(zhuǎn)力矩,同時帶有一定的俯仰力矩;

7)δ7:3、7號舵面單偏,與δ6作用相同。

當(dāng)δ2與δ5以及δ3與δ4復(fù)用時會帶來較小的偏航作用,此處忽略其影響。對于這7種執(zhí)行器的組合方式,其在整個舵面偏轉(zhuǎn)區(qū)間上的操縱效率呈一種非線性的變化規(guī)律。

6.2 仿真結(jié)果

根據(jù)上文空置率,無人飛行器俯仰通道和滾轉(zhuǎn)通道對正弦信號的跟蹤如圖6、圖7所示。

圖6 俯仰通道響應(yīng)

圖7 滾轉(zhuǎn)通道響應(yīng)

無人飛行器對航跡跟蹤的仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 無人飛行器航跡

從仿真結(jié)果可知,基于微分幾何方法可以很好的實現(xiàn)滾轉(zhuǎn)通道和俯仰通道上的解耦,并能快速精確的跟蹤指令。

綜上所述,基于微分幾何方法的飛翼無人飛行器解耦控制是滿足工程實踐要求的。