橢圓的離心率教學隨想

馮剛 張瑞

（江蘇省奔牛高級中學，江蘇 常州）

高中數學課標修訂組給出了數學六大核心素養，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。發展學生的核心素養已經成為當下的熱點，作為一線教師，筆者更關心的是如何將發展學生核心素養的理念落實到課堂？它與已有的教學理念是否矛盾？本文是筆者結合《橢圓的離心率》的教學隨想。

一、課程實施流程設想

《普通高中數學課程標準》強調“學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式。”

結合范式教學理論，設置如下教學流程:

1.設置承上啟下的引例，感受橢圓的實際背景

引例（課本例2），如圖1，我國發射的第一顆人造地球衛星的運行軌道是以地球的中心（簡稱“地心”）F2為一個焦點的橢圓。已知它的近地點A（離地面最近的點）距地面439km，遠地點B（離地面最遠的點）距地面2384km，AB是橢圓的長軸，地球半徑約為6371km，求衛星運行的軌道方程。

圖1

分析：選擇本例作為開堂引例，一可以回顧上一節課的知識；二是讓學生進一步感受圓錐曲線的實際背景。激發學生的愛國熱情和探究數學知識的欲望，認識到數學不是“紙上談兵”。

2.動手操作，生成概念

發放課前準備好的硬紙板、圖釘和細繩，每個小組一份，等學生完成之后上臺展示作品，學生在對比中感受到不同的小組畫出的橢圓大小、圓扁程度不一樣。

問：我們如何從代數的角度來刻畫橢圓的這種“圓扁程度”呢？

（1）動手操作，分析規律

探究（1）將細繩的兩端點固定在焦點處，用鉛筆筆尖拉緊繩子，在平面上畫一個橢圓，然后調整繩子的長度（分別加長、縮短），觀察橢圓的“扁”的程度的變化規律；探究（2）細繩的長度固定不變，將焦距分別增大和縮小，觀察橢圓的“扁”的程度的變化規律。

兩個探究活動由小組協作畫圖分析，匯報結果。培養學生的動手實踐動能、探究分析能力、合作交流能力。

（2）展示成果，生成概念。通過探索，揭示刻畫橢圓“圓扁程度”的數學概念離心率，“離心率”這個名詞非常形象：離心率越大，焦點距離中心越遠，橢圓就越扁。

3.精選例題，滲透數學思想

解法1 如圖2，由題意得直線y=2x與橢圓的交點的坐標為A（c，2c），又 A 在橢圓上，∴1，分子、分母分別除以

圖2

解法2 如圖2，由題意得直線y=2x與橢圓的交點坐標為A（c，2c），∴AF1=2c，又 AF1+AF2=2a，F1F2=2c∴AF2=2a-2c，由 AF1⊥從而有2a-2c=

分析：本例揭示了求離心率的一般步驟：（1）找到a，b，c的關系式。（2）利用b2=a2-c2消去b。（3）化為關于e的式子并解答。這樣的例題安排比直接給出a，b，c的關系式求離心率更有吸引力，可以滲透解析幾何的數形結合思想、方程思想，同時還可以培養學生的計算能力，計算也是解析幾何的一大難點，有點繁瑣，但有技巧。

二、結語

對于橢圓的離心率這樣的一個內容，很多時候被上成了單純的習題課，教師的教學功利性太強，學生缺少探究知識的過程。核心素養不僅僅是知識技能，更重要的是情感、態度、知識、技能的綜合表現。這一超越知識和技能的內涵，可以矯正過去重知識、輕能力、忽略情感態度價值觀的教育偏失，更加完善和系統地反映教育目標和素質教育理念。由此我們啟示，新理念與已有的理念并不是矛盾的，而應該在繼承的基礎上更加重視學生的情感態度的培養。