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柯西不等式在初等數學物理中的若干應用

2018-12-20 04:27:48徐浩然
新課程(中學) 2018年10期
關鍵詞:數學方法

徐浩然

(安徽省合肥市第一中學高二(26)班,安徽 合肥)

法國著名數學家柯西,1789年8月21日出生于巴黎。他對數論、數學分析、抽象代數和微分方程等多個數學領域進行了深入的研究,并取得了許多重要成果。著名的柯西不等式就是其中之一。此不等式在初等數學的解題中應用上具有耳目一新、靈活巧妙的作用。有些參考書上采用了構造函數、利用判別式的方法來證明。而本文在此給出了三種更為簡捷的證明法:引入了二次型法和數學歸納法,來證明柯西不等式。

定理 1 設 ai,bi為任意實數 i=1,2,…,n則,

其中等號當且僅當ai,bi成比例時成立。(柯西不等式原命題)

1.證明方法

方法1(簡潔證明)

方法2(二次型法)

由常識可知,上式的二次型是關于x與y的非負函數,故有

成立

證明方法3(數學歸納法)

當n=1時顯然成立

其中的等號當且僅當a1b2=a2b1時成立

那么當n=k+1時

其中等號當且僅當aibj=ajb(ii,j=1,2,…,k)時成立。

二、柯西不等式的簡單應用

柯西不等式是一個非常重要的不等式,學習柯西不等式可以提高我們的數學探究能力、創新能力等,能進一步開闊我們的數學視野,培養我們的創新能力,提高我們的數學素質。在合適的場合,靈活巧妙地運用它,可以使一些使用平常方法不易解開的難題迎刃而解。這個不等式結構寬松,應用靈活廣泛,常通過適當配湊,直接套用柯西不等式解題,常見的有兩大類型:

例1 已知正數a,b,c滿足a+b+c=1。求證:a3+b3+

證明:利用柯西不等式:

例2 三角形外接圓問題

設P是△ABC內部的一點,x,y,z是點P到三角形三邊a,b,c的距離?!?br>

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