柯西不等式在初等數學物理中的若干應用

徐浩然

（安徽省合肥市第一中學高二（26）班，安徽 合肥）

法國著名數學家柯西，1789年8月21日出生于巴黎。他對數論、數學分析、抽象代數和微分方程等多個數學領域進行了深入的研究,并取得了許多重要成果。著名的柯西不等式就是其中之一。此不等式在初等數學的解題中應用上具有耳目一新、靈活巧妙的作用。有些參考書上采用了構造函數、利用判別式的方法來證明。而本文在此給出了三種更為簡捷的證明法：引入了二次型法和數學歸納法，來證明柯西不等式。

定理 1 設 ai，bi為任意實數 i=1，2，…，n則，

其中等號當且僅當ai，bi成比例時成立。（柯西不等式原命題）

1.證明方法

方法1（簡潔證明）

方法2（二次型法）

由常識可知，上式的二次型是關于x與y的非負函數，故有

成立

證明方法3（數學歸納法）

當n=1時顯然成立

其中的等號當且僅當a1b2=a2b1時成立

那么當n=k+1時

其中等號當且僅當aibj=ajb（ii，j=1，2，…，k）時成立。

二、柯西不等式的簡單應用

柯西不等式是一個非常重要的不等式，學習柯西不等式可以提高我們的數學探究能力、創新能力等，能進一步開闊我們的數學視野，培養我們的創新能力，提高我們的數學素質。在合適的場合，靈活巧妙地運用它，可以使一些使用平常方法不易解開的難題迎刃而解。這個不等式結構寬松，應用靈活廣泛，常通過適當配湊，直接套用柯西不等式解題，常見的有兩大類型：

例1 已知正數a，b，c滿足a+b+c=1。求證：a3+b3+

證明：利用柯西不等式：

例2 三角形外接圓問題

設P是△ABC內部的一點，x，y，z是點P到三角形三邊a，b，c的距離。R是△ABC外接圓半徑，求證：

證明：由柯西不等式得到

故有上式成立。

三、證明光行最短原理

在幾何光學中，有費爾馬發現的一個著名的光行最短原理。現在重新敘述一遍：設甲、乙兩種均勻介質的分界線為直線l，光線從甲種介質中一點A出發，經過l上的點O折射后到乙種介質中一點B，所用的時間為tO，P是l上任一點，光線從A經過P到達B的時間為tP，求證tP≥tO，其中等號當且僅當P與O重合時成立。

證明：以l為x軸，O為原點，建立直角坐標系。設A，B，P 的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），（x，0），光線的入射角為∠1，折射角為∠2（如圖），在甲、乙兩種介質中光速分別為 v1，v2，

由柯西不等式：

將上面兩個不等式左右兩邊同時除以v1，v2后，再將兩式相加，之后得到

讓等號成立的充分必要條件是

（x-x1）cos∠1=y1sin∠1

（x2-x）cos∠2=y2sin∠2

也就是x=0

原命題得證。