例談平面直角坐標系下圖形變換和點坐標的確定

徐 臻

（常州市新北區實驗中學，江蘇 常州）

從近幾年考題來看，在平面直角坐標系的背景下，經常有幾何圖形的變換，例如翻折、旋轉、平移。點坐標的確定就成為一個重要的考點，在解題過程中，首先要充分認識圖形變換前后之間的關系，特別是線段之間的數量和位置關系，在旋轉變換背景下還要充分考慮特殊的旋轉角對于旋轉之后圖形的位置影響。其次還需要準確地把握坐標的確定方法。有時候，需要過所求點向坐標軸作輔助線（垂線），去構造直角三角形，然后利用邊角的條件求出垂線段的長度。再由垂線段過渡到點的坐標過程中，有時還要考慮點的位置。值得注意的是要正確判斷坐標的符號。舉個例子，坐標系中的變換問題往往隱含著一些特殊角的條件，比如點，這樣的描述中就隱含著60°的角，因此，在分析圖形特征時，要格外留意是否題目中存在類似的關鍵的且不容易被發現的一些潛在條件。由此可見，處理這類問題時要把握變換的性質以及確定坐標的方法，特別是確定點坐標，構造垂線段，形成直角三角形，進而求解，這是一種典型的確定點坐標的好方法，可供學習者熟練掌握。下面我將分別列舉兩個平面直角坐標系下圖形在翻折和旋轉過程中求點坐標的例題。

背景一：如圖1，在直角坐標系xOy中，梯形OABC的頂點A、C分別在坐標軸上，且AB∥OC，將梯形OABC沿OB對折，點A 恰好落在BC邊的點A1處，已知OA=，AB=1。求：（1）∠AOB的度數；（2）點 A1的坐標。

圖1

點評：學生在閱讀題目，首先分析這是一道在平面直角坐標系下的翻折問題，那就要注意對稱性問題。第一問求∠AOB的度數，先考慮特殊角，特殊角經常從直角三角形中來，那我們先觀察∠AOB所屬的三角形是否為直角三角形。從AB∥DC，可以得出∠BAO=∠AOC=90°。因為OA=，AB=1，所以 OB=2，所以∠AOB=30°。

在解決第二個問題時我們不難發現，對稱這個條件還未使用，△AOB 和△A1OB 全等，那么∠A1OA=60°，那么∠A1OC=30°。當看到30°的角，進而思考下能否在一個直角三角形中，此刻作A1M垂直于OC，要求A1的坐標，橫坐標就是A1M，縱坐標就是OM。OA=OA1=。在直角三角形A1MO中，A1M=以A1的坐標就是

背景二：如圖2，菱形OABC的頂點O在坐標原點，頂點A在x軸上，∠B=120°，OA=2，將菱形OABC繞原點順時針旋轉105°至OA′B′C′的位置，則點B′的坐標為 （ ）

圖2

點評：這是一題在平面直角坐標系下圖形旋轉下求點的坐標，抓住特殊角度想辦法構造直角三角形。連接OB，OB′，過點B′作B′E⊥x軸于 E，根據題意得：∠BOB′=105°，因為四邊形 OABC 是菱形，所以OA=AB。∠AOB相當于∠AOC的一半，同時也相當于∠ABC的一半，△AOB是等邊三角形，所以OB=OA=2，所以∠AOB′等于∠BOB′減去∠AOB，就等于 45°，OB′=OB=2，所以OE=B′E=OB′sin45°=。所以B′的坐標就是（2，

通過這兩題的比較，我們不難發現，在平面直角坐標系下根據圖形的變換求點的坐標，構造特殊三角形，在三角形里通過計算線段的長度，從而計算點坐標是大體思路。但面對不同的圖形變換，我們也有需要注意的地方，對于旋轉變換的問題，我們要注意旋轉角問題。對于三角形和四邊形的旋轉，在進行角度計算的時候，我們需要關注原來角度的條件。因為在旋轉過程中，非常容易出現等腰三角形、等邊三角形或者直角三角形。因而在圖形變換下求點坐標，我們需要考慮特殊圖形對于角度的制約作用，比如，如果一條線段繞一個端點旋轉60°就可以形成等邊三角形，如果旋轉90°就會變成等腰直角三角形。當然我們也需要非常熟悉45°和60°兩塊特殊三角板邊與角之間的關系。面對圖形變換中折疊求點坐標問題，我們需要考慮軸對稱，把對應關系搞清楚，然后分析圖形中出現的特殊三角形，在接下來的計算中，我們經常會借助方程思想，通過勾股定理得出結論。