高中數學解題中構造法的運用

高雨含

（四川省成都石室中學，四川 成都）

所謂構造法就是讓學生根據題目的要求構造出符合題目條件的數學模型，通過這些數學模型來進行解題，問題會瞬間從復雜變得簡單。在我們剛看到這些問題時，會覺得給的已知條件太少，而構建起相關的數據模型之后，會發現存在許多的已知量，這樣便可以保證我們更快地解決問題。本文主要從構造函數模型和圖形等方面對構造法的運用進行詳細的闡述。

一、構造方程

方程的構造在高中數學解題中是最常用的一種方法。對于高中的學生來說，在高中數學的學習中，方程依舊是非常重要的一項學習內容，而且方程和函數還有著非常密切的聯系。在遇到一些看上去比較復雜的數學題時，可以對問題做到仔細的分析和觀察，掌握其中的數量關系和結構特點，通過構造起相關的等式，從而分析出幾個未知量之間的關系以及方程本身等量之間的關系，再利用恒等式的多方位變形，從而把復雜的數學題逐漸變得簡單化，對問題做到有效解答。首先要對相關的知識和理論做到熟練掌握和應用，只有基礎知識做到牢固掌握，才方便構造法的使用。

例 1，設 α＞β＞γ，且 α+β+γ=1，α2＋β2＋γ2=1，求出 α+β 的范圍。解析這道題：因為 α+β+γ=1，可以得出 α+β=1-γ，然后將這個方程進行兩邊平方，代入到 α2＋β2＋γ2=1，最終獲得 αβ=γ2-γ。由上面的方程可知 α 和 β 是方程 x2+（γ-1）x+（γ2-γ）=0的兩個不等式的實根。所以 Δ=（γ-1）2-4（γ2-γ）=-3γ2+2γ+1＞0，最終解得-＜γ＜1，即-＜1-（α+β）＜1，所以 1＜α+β＜

二、構造函數

高中數學中，函數也是非常重要的一項學習內容，其和方程之間有著許多共同點。在對一些函數進行解答時，也可以通過構造法來對問題進行解決，這對于鍛煉我們的數學思維能力和實踐解題能力都有很好的促進作用。通過采用構造法進行解題，加深了我們對基礎知識的掌握。在數學題中，代數類型的題和幾何類型的題都具有一定的函數思想，所以針對一些復雜的數學問題，都可以通過構造函數，轉化成簡單的函數問題，從而快速地得出正確的答案。這對于提高我們的綜合能力有很大的作用。

例 2，方程x2+（2m-1）x+4-2m=0的一個根大于 2，一個根小于2，請求出實數m的取值范圍。解析：這個時候可以令g（x）=x2+（2m-1）x+4-2m，那么就可以把原來的問題轉化成 g（2）＜0，最終求出m的取值范圍，即：m＜-3。

學生在做這道題時，根據題目的特點，再結合自己所掌握的函數知識，通過運用構造法，運用函數的性質對問題進行有效的解決。同時可以采用多種方法，我們就需要從多個角度來看問題，尋找到不同的解題思路或者突破口，這樣，我們對于圍繞這些問題的知識點可以進行很好的鞏固，自己的數學思維能力也可以得到很好的鍛煉。

方程和函數在高中數學學習中是非常重要的內容，也是學生在長期學習過程中慣用的一種解題思維，方程和函數相當于是數學中的基礎工具。在解決這些復雜問題時，只要將其還原成最初簡單的面貌，那么這些問題也就可以迎刃而解了。

三、構造圖形法在解題中的應用

在高中數學的學習中，數形結合也是非常重要的一種解題方法。在解決數學問題時，通過利用圖形可以把問題的已知條件都非常形象具體地表現出來。這樣學生在解答問題時，也就變得更加直觀和簡單。在數學的學習中，如果可以熟練地運用這樣的解題方法，那么學生的做題效率便可以得到很大的提高。因為在數學題中經常會有很多選擇題，而對于這些選擇題來說，并不需要我們寫出相關的步驟，學生只要可以進行快速解答便可以了。這個時候，許多問題通過采用圖形構造法可以非常快速地解答，從而提高做題效率。

例3，設a∈R，在關于x的一元二次方程7x2-（a+13）x+a2-a-2=0 中，有兩個實數根分別是 α 和 β，而且知道 0＜α＜1＜β＜2，最終求a的取值范圍。

解析：令f（x）=7x2-（a+13）x+a2-a-2，通過函數圖象可以對這個函數進行表示，如下圖中，標注出f（x）和x軸的交點，而這兩個交點分別是在（0，1）內和（1，2）內，根據這些條件，列出相關的不等式，然后求解。即，f（0）＞0，f（1）＜1，f（2）＞0，解得-2＜a＜-1或者3＜a＜4。

綜上所述，在現代的高中數學中，我們所面臨的數學問題變得更加復雜，解題方面也變得更加困難。為了提高我們的學習效果，要對構造法的解題方法做到充分的掌握，從而促使我們在做題時，把復雜的問題轉化成簡單的問題再進行解答。