方程思想在初中幾何中的應(yīng)用

林銳利

（西安交大陽光中學(xué)，陜西 西安）

方程思想是初中代數(shù)中一種非常重要的解題方法，它是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過設(shè)未知數(shù)來建立方程或方程組，再通過解方程或方程組來解決問題的一種思維方式。利用方程思想來解決問題的關(guān)鍵是建立方程模型。而在初中幾何部分知識所涉及的一些線段與角的求解中，基本都具備方程的特性，若能根據(jù)題意及圖形之間的關(guān)系找出其中蘊含的等量關(guān)系，建立方程（組），把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，則會使思路更加清晰，解決過程更加簡便，達(dá)到把幾何問題簡單化的目的。

一、用方程思想求解線段長

在某些幾何題目中，已知條件有的較為復(fù)雜，讓很多學(xué)生理不清要求解的線段與已知之間的關(guān)系而無從下手。如若能根據(jù)線段之間的等量關(guān)系建立方程模型，把幾何問題轉(zhuǎn)化成方程來求解，往往會達(dá)到意想不到的解決效果。

例 1.如圖，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠BAD=∠C，點 D 在BC邊上.以AD為直徑的⊙O交AB于點E，交AC于點F。

（1）求證：BC 是⊙O 的切線；（2）已知 AB＝6，AC=8，求 AF 的長。

分析：對于第（2）問，連接 DF，

利用相似三角形對應(yīng)邊相等來求解線段長，是相似三角形知識的一個常見應(yīng)用，也是中考23題一個常考的考點，利用相似的比例，把幾何問題轉(zhuǎn)化為方程求解線段長，這種題目對考生來說，有一定的難度，但是學(xué)生如果能夠掌握解題方法，能從圖形中抽取出相似三角形的模型，根據(jù)比例關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程模型，問題就會迎刃而解。

二、用方程思想求解角度

例 2.在△ABC 中，∠A+∠B=100°，∠C=2∠B，求∠A，∠B，∠C的度數(shù)。

分析：此題要求解三角形三個內(nèi)角的度數(shù)，我們可以根據(jù)三角形內(nèi)角和來尋求等量關(guān)系。設(shè)∠B=x，則∠C=2x，∠A=100°-x，由三角形內(nèi)角和定理可列方程：100°-x+x+2x=180°，x=40°，因此，∠A=60°，∠B=40°，∠C=80°。

例3.一個正多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，求這個正多邊形的每一個內(nèi)角等于多少度？

分析：設(shè)正多邊形邊數(shù)為 n，根據(jù)題意得：（n-2）×180°=720°，解得 n=6，將n代入即可求出每個內(nèi)角度數(shù)為120°。

利用三角形內(nèi)角和、多邊形內(nèi)外角和及余補角性質(zhì)等求角度，也是一個常考的考點，關(guān)鍵之處還在于根據(jù)題意，將幾何問題轉(zhuǎn)化為方程問題進(jìn)行求解。

三、用方程思想求解有關(guān)動點問題

動點問題是中考的熱點、難點問題，一般的解決思路是動中求靜，先假設(shè)運動到某時刻結(jié)論成立，從結(jié)論出發(fā)逆向推理，得到符合條件的數(shù)量關(guān)系，建立方程，即可求出變量的值，再對所求的值進(jìn)行檢驗和取舍。在這種解決問題的過程中，應(yīng)用方程思想仍是突破難點的關(guān)鍵。

例4.如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)是8，點B是數(shù)軸上的一點，且AB=14。

動點P從A出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度沿著數(shù)軸向左勻速運動，運動時間為t秒（t＞0）。（1）寫出數(shù)軸上點B表示的數(shù)___，AP=___。（2）動點Q從B出發(fā)向左以每秒3個單位長度向左勻速運動，若點P、Q同時出發(fā)，求點P運動多長時間追上點Q？

分析：此題第（2）問是一個比較簡單的動點問題，我們可以假設(shè)在C點時，點P追上點Q，如圖所示，

則此時滿足AC-BC=AB，根據(jù)這個等量關(guān)系可列出方程：5x-3x=14，解得：x=7，所以點P運動7秒時追上點Q。

由以上幾個簡單例子我們可以看出，在解決幾何相關(guān)問題的過程中，方程能夠幫助我們清晰地反映題目中的數(shù)量關(guān)系，使問題得到簡化。因此，我們在日常的教學(xué)中，一定要對學(xué)生強化方程思想的認(rèn)識，通過典型例題引導(dǎo)學(xué)生掌握方程思想的精髓，從而提高學(xué)生分析問題及解決問題的能力。