用軸測投影代替平行投影， 使直觀圖研究陷入死胡同

唐文虎

前言：十年前，我們開始了“數學實驗室”的設計；八年前，我們申請成功由國家版權局頒發的“計算機軟件著作權登記證書”；五年前，《高中數學圖形語言》正式出版；三年前，“球形直觀圖及北極點位置的構圖方法及使用模板”獲國家發明專利……在此，我們發表最新的學術論證。

當前的問題

在中學數學教學中，人們一般用斜二測畫法畫多面體，用正等測畫法畫旋轉體。那么，如果要畫一個多面體與旋轉體結合的圖形，該用什么方法畫呢？這個問題目前至少在認識上是模糊的，不僅國內如此，從現有的資料來看，美國也這樣。于是，八仙過海，各顯神通。圖1（a）是國內很有代表性的一幅圖：半球內接正六棱錐。

這幅圖畫的是多面體與旋轉體相結合的幾何體的直觀圖。相信很多教師都試圖畫過這樣的圖，無奈這種圖既無法用斜二測畫法畫出，也無法用正等測畫法畫出。于是，對于這種嚴重影響學生空間想象力的圖，大家都把它叫做示意圖。

什么叫示意圖？在立體幾何中，示意圖就是大體地畫出幾何體的形狀、大小以及位置關系，突出重點，允許忽略細節。由于示意圖不需要理由，可以各行其是，深受廣大教師歡迎。在圖1中，我們可以看到，平行投影中的重點——平行不變性已被破壞殆盡。因此，這樣的示意圖是無法對某些性質進行示意的（如平行線段）。

平行投影與軸測投影的區別

中學的立體幾何直觀圖，主要是建立在平行投影基礎上的。平行投影又分斜平行投影和正平行投影。斜二測畫法畫出的直觀圖是斜平行投影下的一種特殊方向的投影結果；正等測畫法畫出的直觀圖是正平行投影下的一種特殊方向的投影結果。軸測投影國家標準（GB/T4458.3-2013）推薦使用斜二測畫法和正等測畫法畫直觀圖，于是，斜二測畫法和正等測畫法畫直觀圖成了立體幾何教學中的不二選擇。

選擇一個恰當的斜平行投影方向，可以得到斜二測直觀圖（如圖2），所以斜二測直觀圖僅僅是幾何體的一個影子，這一點不被人們所重視。

如果我們要畫一個多面體與旋轉體的綜合體，用斜二測畫法畫多面體，又用正等測畫法畫旋轉體，那么其結果必然是半是影子半是幾何體的不倫不類的樣子。這時得到傳統結論：把空間圖形實際的幾何特征完全表示在平面上是不可能的。

注意到軸測投影對投影方向的規定：平行投影方向不平行于任何一個坐標平面。可見，軸測投影僅僅是平行投影的一部分。

但“生活經驗告訴我們的圓錐是這樣的（如圖3）”這種表述已經表明了把空間圖形實際的幾何特征表示在平面上是可能的，只是按照現有的規則無法得到。這說明了我們原先的教材理論有不足或缺陷——這個缺陷就是用軸測投影代替平行投影時漏掉了“生活經驗告訴我們的”投影方向。這個投影方向平行于空間直角坐標系O-xyz中的xOz平面，我們把這種投影稱作T平行投影（如圖4）。

對其他平行投影的排斥，使得中學數學直觀圖的研究進入死胡同

“其他投影我們基本不涉及”，這是一種固執。這種對其他平行投影的排斥，使得中學數學直觀圖的研究進入死胡同。

其實，“生活經驗告訴我們的圓錐是這樣的”已經承認了其他平行投影方式的存在。T平行投影就是這種投影的理論探索。

由于“T平行投影”不滿足“投影方向與三個坐標平面都不平行（這是軸測投影的前提）”的要求，所以它被排斥在機械制圖的軸測投影之外。正是由于這個原因，想在傳統的理論體系內找依據始終不能如愿。

T平行投影+旋轉，使得直觀圖研究柳暗花明

T平行投影只是平行投影的一種，它并不違背中學數學的宗旨。T平行投影方向：設平行投影線與x軸、y軸、z軸的夾角依次為α、90°、90°-α（α為銳角），則稱這種投影方向為T平行投影方向。以半球內接正六棱錐為例，T平行投影畫出的直觀圖一開始是如圖5所示的樣子。如果覺得這個圖直觀性不太好，可以圍繞著旋轉軸進行適當的旋轉（如圖6）。

可見，利用T平行投影+旋轉，可以完美地解決幾十年來存在于教材中的困惑（半球赤道橢圓短軸∶長軸=1∶5時，縱向伸縮系數≈0.98≈1）。

使用模板便捷作圖

使用根據該理論設計的模板，可以便捷地作出旋轉體以及多面體與旋轉體的混合直觀圖（橢圓上帶有旋轉刻度，旋轉很方便）等。

T平行投影的意義

軸測投影僅僅是平行投影的一部分。利用軸測投影去排斥其他平行投影，使得“生活經驗告訴我們”的圖形被排斥在外，從而使直觀圖研究進退無據，陷入死胡同。T平行投影正是這樣一種被排斥的平行投影。使用T平行投影+旋轉能夠圓滿地解決幾十年來存在于中學數學教學中的難題；使用T平行投影+旋轉原理設計出的模板能讓學生便捷地畫出相關直觀圖形，使得學生的空間想象力得到突破性提高。