中算勾股算術在17世紀日本的傳播與發展

孫 琳，徐澤林

（東華大學 人文學院，上海 200050）

日本慶長八年（1603）德川家康（1542—1616）在江戶（今東京）開設幕府建立“幕藩體制”，至慶應三年（1867）大政奉還天皇，歷時264年，被稱作江戶時代。江戶時代和算發達，其中以代數為中心的度量幾何是最為突出的成就之一，尤其是幾何圖形的計算，其中就包括勾股算術的內容[1]。

1 中國傳統勾股問題在日本的傳播

1.1 中國傳統勾股問題的源流與發展

勾股問題最初見于公元前1世紀左右的《周髀算經》，書中記載陳子答榮方曰：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日。”[2]即設邪至日為弦記為c，日高為股記為b，日下為勾記為a，則c= a2+b2。三國時趙爽以“弦圖”、劉徽用“圖驗法”分別對勾股定理進行證明。而勾股算術知識詳細記載于公元1世紀的《九章算術》，其主要內容包括：（1）勾股定理及其證明；（2）勾股整數（即滿足不定方程x2+y2=z2的一組正整數解）；（3）勾股容方、容圓術；（4）相似勾股形與勾股測量術；（5）解勾股形。

《九章算術》中給出了求勾股整數的一般公式，郭書春《〈九章算術〉中的整數勾股形研究》[3]一文剖析了《九章算術》中的整數勾股形理論。在《九章算術》之后，整數勾股形理論未得到很好的繼承與發展，一直到了清代，中算家們才開始討論整數勾股形的性質和構造方法。《九章算術》的勾股相容問題包括勾股容方與勾股容圓。金元時期李冶（1192—1279）在《測圓海鏡》中通過“圓城圖式”（洞淵九容）豐富了容圓體系。《九章算術》的勾股測望問題主要是用來解決實際問題，如測高望遠，其數學原理是“相似直角三角形對應邊成比例”，也就是劉徽所概括的：“相與之勢不失本率”，它是中國古代測量學的基礎，后為劉徽的《海島算經》與秦九韶的《數書九章》所發展。……