導數在高中數學解題中的運用分析

李奉沂

摘要：導數是微積分中的重要概念，而且在高考中占有十分重要的地位。導數，可以與函數、不等式和方程求根等知識相結合，達到化繁為簡和使解題方式多樣化的目的。因此，導數是高中數學中備受關注的重要部分。本文在導數含義的基礎上，通過實例分析了導數在高中數學解題中的運用，以期提高人們對導數的認知。

關鍵詞：導數；高中數學；解題；運用

一、導數的含義

導數是微積分中的重要概念。具體來說，就是函數y=f（x）在點x0的某鄰域內有定義，當自變量x在點x0處取得增量?x，（x0+?x）仍在這個鄰域內時，那么函數就取得增量△y=f （x0+?x）-f（x0）；如果極限存在，那么這個極限就是函數y=f（x）在點x0處的導數。

二、導數在高中數學解題中的運用

導數，是數學微積分中的重要組成部分，而且在近幾年的高考題目類型中，導數與函數、不等式、方程和解析幾何等其他知識結合的題型越來越多，說明導數在高中數學解題中的運用越來越廣泛。因此，作為高中生的我們，也要有綜合運用導數解題的能力。接下來，讓我們通過實例來討論下導數在高中數學解題中的運用。

（一）導數在函數中的運用

不管是導數的引出還是定義都與函數有著不可分割的關系，從這個角度來說，導數是研究函數的有力工具，我們可以利用導數判斷函數的單調性、求函數的最值。

1.利用導數判斷函數的單調性

函數的單調性是函數的一個重要性質。利用定義法來判斷函數的單調性是之前常用的方法，但定義法只適用于一些簡單的函數，一旦遇到較復雜的函數，利用定義法判斷單調性是非常繁瑣的。因此，導數就成為判斷函數單調性的有效方法。

例1：已知函數f（x）=lnx-ax+-1（aR），求當a≤時，f（x）的單調性。

∵函數f（x）=lnx-ax+-1，∴f（x）=-a+=，x（0，+）。令g（x）=ax2-x+1-a，x（0，+）。

（1）當a=0時，g（x）=-x+1，x（0，+），所以當x（0，1）時，g（x）>0，f（x）<0，那么函數f（x）單調遞減。當x（1，+）時，g（x）<0，f（x）>0，函數f（x）單調遞增。

（2）當a≠0時，由f（x）=0得出g（x）=ax2-x+1-a=0，x1=1，x2=-1。當a=時，x1=x2，g（x）≥0恒成立，f（x）≤0，f（x）在（0，+）上單調遞減。當01>0，此時x（0，1）時，g（x）>0，f（x）<0，那么函數f（x）單調遞減。x（1，-1），g（x）<0，f（x）>0，函數f（x）單調遞增。

綜上所述，a≤0時，函數f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+）上單調遞增；

a=時，函數f（x）在（0，+）上單調遞減；

0

2.利用導數求函數的最值

函數的最值問題一直是高中階段數學學習的重難點。函數的最值包括函數的最大值與最小值，導數為函數最大值與最小值求解的問題提供了一種方法與思路。

例2：求函數f（x）=ln（1+x）-x2在[0，2]上的最值。

根據f（x）=ln（1+x）-x2得出f（x）=-x。當f（x）=0求得x=1或x=-2。因為f（0）=0，f（1）=ln2->0，f（2）=ln3-10，所以函數f（x）=ln（1+x）-x2在[0，2]上的最大值是f（1）=ln2-，最小值是f（0）=0。

（二）導數在證明不等式中的運用

不等式的證明也是高中數學學習的重要內容，常用的方法有很多，而導數是一個行之有效的方法。它通過建立一個函數，再利用函數的性質，將一些不等式的證明過程化繁為簡，提高我們的解題效率。利用導數證明不等式的方法很多，比如函數的性質、中值定理和泰勒公式等。下面以函數的單調性證明不等式為例，討論導數在證明不等式中的運用。

例3：證明當x>1時，有ln2（x+1）>lnx·ln（x+2）。

通過觀察我們可以看出不等式可以變形為>，然后再利用函數的單調性就可以完成證明。

設函數f （x） =（x>1），那么f（x） ==

。∵1 < x < x+1，0f（x+1），即 >，于是ln2（x+1）>lnx·ln（x+2）。

（三）導數在解析幾何中的運用

解析幾何又稱為坐標幾何，是利用解析式來研究幾何圖形的一門學科。而利用導數的幾何意義求曲線切線的斜率是導數在解析幾何中的重要運用之一。

例4：求曲線y=和y=x2交點處的兩條切線和x軸所圍成的三角形的面積。

根據兩條曲線y=和y=x2求得交點P（1，1），曲線y=在P點處的切線斜率是k1=ylx=1=-lx=1=-1，那么它的切線方程是l1：y=-（x-1）+1。曲線y=x2在P點處的切線斜率是k2=ylx=1=2xlx=1=2，那么它的切線方程是l2：y=2（x-1）+1。于是l1與x軸的交點A（2，0），l2與x軸的交點B（，0），所以圍成的三角形的面積是SPAB=lABl·lyPl=。

三、總結

導數，作為高中數學學習的重要內容，并不是孤立存在的，而是與函數、不等式和解析幾何等有著密切的關系。我們一定要認真學習導數，利用導數在數學解題中的廣泛運用，從而提升我們做題的效率與質量。

參考文獻：

[1]張華.淺談高中數學導數的解題方法與策略[J]，新課程（下），2017（10）：55.

[2]鄧茹月、王曉紅.例解函數與導數綜合題[J]，數理化學習（高中版），2018（3）.