基于數學建模案例應用的教學模式的研究與實踐

徐昌貴　盧鵬　張興元

摘 要：積極開展數學建模活動，不單是為了參加國家比賽，更多的是要思考如何與數學教學進行深度融合，擴大學生的受益面，培養適合當代國家和社會需要的高技術應用人才。本文基于數學建模案例應用的教學模式的研究，并進行了為期一年的教學實踐，得出了肯定的結論。

關鍵詞：數學建模 案例教學 研究與實踐

一、研究的背景與意義

在我國，由教育部高教司與中國工業應用數學學會共同組織的全國大學生數學建模競賽活動已歷時二十五年（1992年-2017年）。據統計，2017年，來自全國34個省/市/區（包括香港、澳門和臺灣）及新加坡和澳大利亞的1418所院校/校區、36375個隊、近11萬名大學生報名參加本項競賽。數學建模競賽目前已成為全國高校規模最大的基礎性學科競賽，也是世界上規模最大的數學建模競賽。

隨著數學建模競賽的連續開展，在全國高校中進行著一場與數學建模相關聯的大學數學教學改革，形成了很多建模競賽指導團隊，他們正推進著數學教學改革的進一步深化。縱觀這些教學團隊的目標、方向以及人員構成，我們發現這些改革目前還局限于數學學科內部，改革的主要內容也是以增加建模案例、更新教學內容、增加數學實驗、如何提高競賽成績為主。這樣做有兩個主要的缺陷：（1）缺乏將數學建模競賽獲得的創新能力培養的經驗、模式應用于實際教學活動中，以便增大學生的受益面，激發學生的主動學習積極性、調動學習潛力、促進深層次學習，一句話就是還沒有很好地將其與數學教學進行深度融合；（2）局限于教數學的人談論數學建模的教學改革，沒有與其它專業課程進行有效的銜接，對學生創新能力的培養不具有連續性，很難培養出真正適合當代國家和社會需要的高技術應用人才。

基于以上分析，我們開展基于數學建模案例應用的教學模式的研究與實踐，目標就是將與實際或專業緊密結合的數學建模案例深度融入數學基礎課（高等數學、線性代數、概率統計等）和專業基礎課課（運籌學、牽引計算等）的教學，研究這些課程的教學模式的變革，力求在增強對大學生創新能力的培養方面做出一些探索與實踐，為提升教學質量、提升學生的創新能力方面提供實踐經驗與訓練。

二、研究的主要內容與過程

我們研究的主要內容包括以下五個方面：

（1）數學建模競賽與相關學科融合的案例及實際問題的收集、分析及歸類；

對每門課程的教學需求進行分析，探索案例融合的接口。

（2）完成對每個案例結構分析，重點分析、清楚各個案例的背景、解決方法、先驗知識、工具選擇、創新點。

（3）將每個案例分解成不同的模塊融入基礎課或者專業課教學，進行為期一年的教學實踐。

（4）分析案例融入課程教學后的教學模式的變化與教學效果的評價。

（5）在教學實踐的班級成立興趣小組，以解決問題為導向，對他們進行專項指導與引領，培養他們的創新能力。

具體的研究時間表如下：

（1）2017年3月，項目小組成員進行了前期部分準備工作，包括收集資料，閱讀相關文獻。

（2）2017年3月—4月，收集、分析、整理分類數學建模案例，期間進行3次團隊討論。

（3）2017年5月—6月，分組完成各個案例的詳細解答，期間進行3次集中討論；

（4）2017年7月—9月，完成對每個案例結構分析，以及教學實踐活動相關內容組織，期間進行3次集中討論以及不定期的反饋意見收集；

（5）2017年9月-11月，分課程完成教學實踐活動，研討評價方法，期間每個月進行一次集中討論及修改教案、教學模式；

（6）2017年12月，對項目的效果進行了評價、完成總結報告。

三、把數學建模案例融入高等數學等大學課程的教學實踐

以數學建模案例融入高等數學課程教學為例，我們選取了12個典型的數學建模案例。

（1）椅子能在不平的地面上放穩嗎（連續函數的性質）；（2）分形幾何中的Koch雪花（數列的極限）；（3）易拉罐的最優設計（一元函數的極值）；（4）飛出火星的速度（積分）（5）冷卻定律與破案問題（一階微分方程）；（6）食者與被食者系統的Volterra模型（微分方程）；（7）螞蟻逃跑問題（梯度）；（8）萃取問題（多元函數的條件極值）；（9）刀具的磨損速度（最小二乘法）；（10）擺線的等時性（曲線積分）；（11）病人的服藥量（級數的和）；（12）Zeno悖論（級數的收斂性）。

通過這些數學建模案例的講解，使學生不僅學到了重要的數學概念、方法和結論，還學會了數學建模的思想方法，培養了學生學習數學的興趣，增強了學生應用的意識，促進了學生能力的提高。

四、研究與實踐的結論

在我們進行了基于數學建模案例應用的教學模式的研究與實踐后，我們得到如下結論：

（1）在高等數學、線性代數和概率統計及其他后續專業基礎課的教學中，有意識地引入簡單的數學建模案例，通過模型的建立、數學軟件求解和結果解釋與分析，向學生輸送數學建模的思想和方法，能極大的激發學生的學習與應用數學、參與數學建模競賽活動的興趣。

（2）在教學過程中指導學生學習基本的數學建模知識、學習數學軟件的使用，使他們具備一定數學建模基礎能力，包括計算求解能力，其中一部分學生的能力得到了較大的提升，參加各類非建模競賽或者科創活動表現都非常踴躍。

（3）以概率數理統計的實踐教學為例，通過實踐證明，在概率統計課程教學過程中適當講解一些數學建模案例不僅可以通過教學內容激發學生的學習興趣，引發教學模式的轉變，而且可以使學生的數學建模能力在該課程的教學過程中得到潛移默化的培養。同時在指導學生利用概率統計知識建立模型解決實際問題的過程中，教師自身的能力和教學水平也有得到了提升。

（4）在課堂教學過程中，提出更多與學生專業相關的問題，能激發學生學習專業的興趣，同時也能促進數學建模知識的應用。學生將數學建模思維應用于專業需求，運用于本科畢業設計，既是創新也減少了大量“機械”工作量。

怎樣更加有效的開展數學建模活動，將數學建模案例融入教學，還需要我們不斷探索和實踐。

參考文獻

[1]葉其孝.大學生數學建模競賽輔導教材[M].湖南：湖南教育出版社，2003.1-18.

作者簡介

徐昌貴（1970.11—），男，漢族，四川廣漢人，研究生，現就職于四川峨眉西南交通大學峨眉校區數學學院，副教授，碩士，主要從事應用數學方面的研究。