“美麗的”誤會

（石河子第一中學 新疆石河子 832000）

我就打開幾何畫板和學生一起做探索，讓點E在弧CD上運動，同時度量四邊形AMNB的面積，發(fā)現(xiàn)恒成立，隨后我給出了下面的證明：

在我奮筆疾書時,學生興奮的用鼠標拖動點E，意外發(fā)現(xiàn)不論點E在哪個象限，S總為定值，于是我就和學生對點E在第二、第三象限的情況進行探索（此時四邊形AMNB均為凹四邊形，如圖2，圖3），發(fā)現(xiàn)這兩種情況同樣符合關系式這樣，之前的證法照樣能用，正當我準備驗證一下第一象限的情況時，上課的預備鈴響了，我就簡單的說了句：”第一象限時同樣可證。”草草結束了講解。

兩節(jié)課結束后，意猶未盡的我又打開剛才的幾何畫板文件，拖動E到第一象限時發(fā)現(xiàn)四邊形形狀很奇特，不妨稱之為“十字四邊形”，此時四邊形的面積好像不是我度量了發(fā)現(xiàn)這說明我剛才給學生講錯了，但為什么幾何畫板文件顯示為常數(shù)呢？我馬上在這個圖中探索了的幾何意義，

這樣就解決了第一個困惑，但是另一個問題又來了：“十字四邊形”的面積這樣算合理嗎？有沒有一般情況下的四邊形面積公式？

我百度了好一會兒，居然找不到以坐標形式呈現(xiàn)的任意四邊形面積公式，只好自行探究：

如圖5：

如圖6：

考慮到：凸四邊形的兩點若要具有對稱輪換性，須滿足：兩個點的下標互換后不影響任何一邊的圖形位置，故只有對角線上兩點具有對稱輪換性，但此時上式中S四邊形ABCD取相反數(shù)，故面積須加絕對值，

這應該就是幾何畫板軟件默認的任意四邊形面積公式。

3.下面檢驗凹四邊形和“十字四邊形”：

如圖8中的凹四邊形：引用圖5和圖6的公式

如圖9中的“十字四邊形”：引用圖5和圖6的公式

圖8中的SΔABD和圖9中的SΔABD同號，圖8中的SΔBCD和圖9中的SΔBCD異號，

套用之前的四邊形面積公式此時將會得出：

原來這才是之前出錯的根源。而且我們順帶著得到一個結論：之前的面積公式適用于一般的凸四邊形和凹四邊形，但對“十字四邊形”不適用。還有一個小小的遺憾，暫時沒找到這個問題的純平面幾何證法。

最后，我要感謝來問題的學生，給了我一個這么好的研究素材；同時，我也慶幸：對于“十字四邊形”多看了一會兒，才有了后續(xù)的這些發(fā)現(xiàn)。