強化數學思想方法，提升幾何探究能力

（福建省上杭縣舊縣中學 福建上杭 364214）

中考試題凝聚著命題專家的智慧，在復習階段適當選用或者改編中考試題，讓學生在探究活動中體驗圖形變化、幾何直觀、特殊化與一般化、分類討論、化歸等幾何探究的基本思想方法，并在總結反思中提煉，在遷移訓練中自覺運用，能提高復習效率，也有助于豐富數學思想方法，提升學生的幾何探究能力。 下面筆者以一道中考數學壓軸題為例，談談這方面的體會。

題目：在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，點P在線段BC上（不含點B），

（1）當點P與點C重合時（如圖1）.求證：△BOG≌△POE；

（3）把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖3），若∠ACB = α，求的值（用含α的式子表示）.

圖1

圖2

圖3

一、改編試題

如圖2，在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，點P在線段BC上（不含點B），PE交BO于點E，過點B作BF⊥PE，垂足為F，交A C于點G.試探究：的值，證明你的結論，并將命題進行推廣。

設計意圖：近年來，不少中考試題的設計都從特殊情況開始探究，再進一步拓展到一般情況；或是先限定在某一范圍內探究結論成立的情況，再拓展到其他范圍，進一步判斷其結論是否也成立.其用意在于考查學生對特殊到一般思想方法的理解和運用水平以及對于數學拓展研究的能力.然而這種思想方法已經被命題者用來設計問題了，學生只需按照命題者的要求，解答一個個小問題就可以，與命題者的初衷相去甚遠。

二、解法探究

1.審題

（1）仔細閱讀題目，并在圖形上標注已知條件和能簡單得到的結果，如圖4；

（2）認真觀察圖形，尋找圖形特征并分離出基本圖形△BCG.

2.猜想

圖4

圖5

（2）特殊化：讓點P與點C重合，如圖5 ，此時△BPG為等腰三角形，同時Rt△BOG≌Rt△POE，∴BG = PE，從而

3.證明思路

思路1：尋找特殊情形的本質特征

圖5的特征在于等腰三角形中含有全等三角形，據此在圖4中過點P作PM // AC交BG于M，交BO于N，如圖6，這樣構造出與圖5類似的圖形△BPM.

圖6

圖7

思路2：尋找一般情形與特殊情形之間的聯系

比較圖4與圖5，圖4中仍有等腰△BPG，為構造出特殊情形的圖形，可過C作CM // EP交BG于M，交BO于N。由特殊情形知：而這可由圖7中CM // EP得到，即有得到。

4.拓展

（1）突破某一范圍的條件限制

如去掉“點P在線段BC上（不含點B）”的限制，會有怎樣的結果？通過畫圖可知，此時仍有等腰三角形中含全等三角形的結構，結論依然成立。從而可推廣為：“點P為線段BC延長線上一點，其余條件不變時，結論仍然成立”，如圖8，證明思路與前面的完全一樣。

（2）改變題目背景

將題目中的條件弱化，如正方形變為特殊平行四邊形，經過探究可得：

如圖9，把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變，若∠ACB =α，求的值（用含α的式子表示）.

圖8

圖9

思路分析:

因為推廣過程中保持了原題的等腰△BCG結構，所以證明的思路也與原來類似。 如過點C作CM // EP交BG于M，交BO于N，由于此時∠ACB ≠∠CBO，所以△ONC與△BOG也就不全等了，也即≠ ，但BM = BG仍能成立，所以有只要求出就可以了，由Rt△ONC∽Rt△BOG可得而在Rt△BOC中，所以，

還有其它的證明方法嗎？（讓學生課后再思考）

三、反思總結

數學思想方法是數學學科的精髓，是將數學知識轉化為數學能力的橋梁。由于數學思想方法屬于隱性知識，是以具體的知識為載體，因而對數學思想方法的掌握更多地體現在對解題策略的思考和選擇上。

華羅庚先生說過，解題時先足夠地退，退到我們最易看清問題的地方，認透了，鉆深了，然后再上去.他認為這是學好數學的一個決竅.因此，以特殊問題為起點，抓住數學問題的特征（如本題等腰三角形中含全等三角形），通過逐步分析、比較，層層深入，揭示規律，由此得到證明的基本思路。對一般化下的問題，可采取“化歸”的辦法：或抓住特殊化時圖形的本質特征，什么變了，什么沒有變，緊緊抓住末變的；或將一般化下的情形轉化為特殊化情形，看兩者之間有何聯系，由此得到一般化情況下的證明思路（如本題等腰三角形中含相似三角形）.先特殊化，解決特殊情形下的問題，再一般化，尋求一般問題與特殊問題之間的聯系，將一般問題進行化歸，這是初中幾何一種重要的數學思想方法。

四、遷移應用

1。如圖10，已知點P是Rt△ABC斜邊AB上一動點（不與A，B重合），分別過A、B向直線CP作垂線，垂足分別為E、F，Q為斜邊AB的中點.當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷線段QE與QF的數量關系，給予證明并對該命題進行推廣。

圖10

圖11

圖12

注：先特殊化，若點P與點Q重合，則由△AQE≌△BQF可得QE = QF。再一般化，受特殊化中利用三角形全等進行證明的思路啟發，延長FQ交AE于點D，證明△AQD≌△BQF得QD = QF，再根據Rt△FDE中QE為斜邊FD的中線，得到QE = QF，如圖11；或過點Q作EF的平行線分別交AE、BF于點M、N，證明△AQM≌△BQN得QM = QN，再證△EQM≌△FQN得QE = QF，如圖12。

推廣：當點P在線段BA或AB的延長線上時，結論仍然成立。

2.如圖13，在Rt△ABC中，∠C = 90°，D為AB中點，點M、N分別在BC、AC邊上，且DM⊥DN，作MF⊥AB于點F，NE⊥AB于點E.試探究AE和DF的數量關系，并加以證明，最后將該命題進行推廣。

注：先特殊化，若AC = BC，且DM⊥BC，DN⊥AC，得到圖14，顯然AE = DF。其次一般化，在圖14中先去掉條件DM⊥BC，DN⊥AC，如圖15，再去掉條件AC = BC ，如圖13，此時AE≠NE，但從圖中可以看出△NED和△MFD也不全等，受基本圖形的啟發，可得到△NED∽△MFD（全等可看著相似的特殊情況，或作DN′⊥AC，DM′⊥BC，此時有△DN′N∽△DM′M，如圖15），進而有又△NEA∽△MFB，可得再由線段比例關系的換算可得出結論。

圖13

圖14

圖15

推廣：若BD = kAD（k為任意正整數），條件中的“點M在BC上”改為“點M在線段CB的延長線上”，其它條件不變，則有AE =kDF。

利用上述改編的中考試題，可以讓學生將不變的數學思想方法置身于變化的題目之中，通過類比遷移，強化基本的數學思想方法，使學生學會以“不變”應“萬變”，真正達到舉一反三的效果，從而提高幾何探究能力。