關于半波長輸電的幾個原理性問題

徐 政， 楊 健

(浙江大學電氣工程學院, 浙江 杭州 310027)

0 引言

在巴西、俄羅斯、中國等國家，能源基地可能遠離主要負荷中心[1-3]，半波長距離輸電在這種情況下是一種很有吸引力的選項。十九世紀四十年代，人們就對這種輸電技術進行了研究，但至今，世界上還沒有實際投入運行的半波長輸電系統[4-5]。半波長輸電的可行性仍需要進一步研究。

現有研究對半波長輸電的基本特性進行了分析，已有文獻宣稱半波長輸電系統具有如下優點：(1) 半波長輸電線路不存在一般遠距離輸電線路運行時可能出現的費蘭梯效應、充電電流過大、發電機自激等問題[6]；(2) 半波長輸電線路不需要補償裝置和開關站[7-8]；(3) 半波長輸電線路可以認為與短線路等效，同步穩定性不是制約輸送功率的主要因素[6]；(4) 半波長輸電技術具有一定的經濟性。文獻[9—11]論證了半波長輸電技術與高壓直流輸電技術相比，具有經濟上的優勢。

然而，上述半波長輸電系統的優點還沒有完全在理論上得到支撐。同時，半波長輸電技術仍存在一些技術上的問題，其中，過電壓和同步穩定性是可行性分析中最重要的兩個技術問題。已有研究發現，對半波長輸電系統，其穩態過電壓水平與系統傳輸的功率和功率因數有關[12]。為了避免穩態過電壓，輸電功率不應大于自然功率(surge imped-ance loading, SIL)[13-15]。小干擾穩定方面，等效電氣距離稍大于半波長的系統被認為是可行的[6,12,16]，但還沒有文獻明確給出等效電氣距離的可行范圍。實際上，可行范圍與系統的諧振輸電距離有關，這一點將在本文中進行具體說明。

在三相短路和不對稱故障下，系統無法避免產生嚴重的工頻過電壓[17]。同時，系統的暫態穩定性與故障類型和故障位置有關[12,18-19]。對于三相短路故障，已有文獻給出了系統最大過電壓的理論解釋[12,20]，但對于暫態穩定性，大多數研究都是通過仿真進行說明，缺乏理論支撐。

本文在考慮過電壓和穩定性的條件下，尋找半波長輸電系統的可行輸電距離。在這個過程中，提出了諧振輸電距離和同步系數的概念，以反映系統穩態和小干擾穩定特性，定義并推導了最嚴重故障點，以研究三相短路故障下的系統暫態特性。

1 電路模型

遠距離交流輸電系統主要應用于點對網或者網對網輸電系統。對于這兩種情況，其穩態特性和同步穩定性分析都可以采用單機對無窮大系統模型。因此，考慮送端系統和受端系統作用后，一般性的遠距離交流輸電系統可以用圖1所示的電路模型來表示。其中，輸電線路采用正序分布參數模型，送端機組采用“次暫態電抗后電勢恒定”模型，受端交流系統采用正序戴維南等值電路。

圖1 遠距離交流輸電系統電路模型Fig.1 Equivalent circuit of the long distance transmission system

如圖1所示，Eg為送端機組等值電勢；Xg為送端機組等值電抗；Er，Xr分別為受端系統等值電勢和等值電抗；Us，Ur分別為輸電線路送、受端電壓；Is，Ir分別為送、受端電流；Ux是距離輸電線路送端xkm處的電壓；l是輸電線路長度(或稱為輸電距離)；Pg，Qg分別為送端有功和無功功率；Pr，Qr分別為受端有功和無功功率。

遠距離輸電線路的基本特性可用長線方程描述：

Ur=Uschγl-IsZCshγl

(1)

Ir=-Usshγl/ZC+Ischγl

(2)

其中，γ為傳播系數；ZC為波阻抗。兩者可分別通過下式計算：

(3)

(4)

式中：L1，C1，G1，R1分別為輸電線路單位長度的正序電感、電容、電導和電阻；ω為系統角頻率；α為衰減系數，β為相位系數。

為描述系統特性和數值計算方便，本文針對測試系統進行分析。測試系統基準頻率為50 Hz。采用文獻[21—22]中的線路參數，如表1所示。

表1 輸電線路參數Tab.1 Transmission Line parameters

由表1可見，衰減系數α遠小于相位系數β；同時，波阻抗ZC的相角約等于0。這些參數與線路無損時的情況很相似。

測試系統半波長(l/2)為：

λ/2=π/β=2 938.0 km

(5)

當線路額定電壓(Urated)取1000 kV時，線路的自然功率為：

(6)

本文分析中，選取Urated和PSIL作為電壓基值和功率基值。采用大寫字母表示物理量的實際值，小寫字母表示物理量的標幺值。

為對能源基地通過半波長輸電線路向負荷中心輸電的典型應用場景進行分析，假設測試系統的送受端參數如表2所示。

表2 送受端系統參數Tab.2 Parameters of the sending-end and the receiving-end systems

在忽略線路損耗的情況下，根據圖1和長線方程，可以求得：

(7)

若用角度θ表示相位系數β與輸電距離l的乘積，即θ=βl，則式(7)中導納矩陣y可表示為：：

(8)

Δ0=(1-xgxr)sinθ+(xg+xr)cosθ

(9)

根據式(7)，可以計算得到標幺值下的功率方程為：

(10)

(11)

(12)

其中，eg,er分別為設定的送、受端邊界條件；δg是eg和er之間的相角差。

類似地，可以得到考慮線路損耗情況下的功率方程如下：

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

Δloss=|(xgxr-zc2)shγl-jzc(xg+xr)chγl|2

(18)

其中，在輸電線路參數及xg，xr，eg，er確定的條件下，C1～C6，φ1～φ4均為常數，其具體表達式參見附錄A。

2 諧振輸電距離

根據式(9)可知：

(19)

其中：

(20)

當θ=π-φC，即l=(π-φC)/β時，Δ0= 0。根據式(8)可知，此時導納矩陣y中各元素分母為0，輸電線路與兩側系統等值電抗之間發生串聯諧振。定義此時的輸電距離為諧振輸電距離，并用lresnt表示，則：

(21)

由式(21)可見，lresnt只與輸電線路參數和兩側系統等值電抗有關，而與eg，er無關。

對于考慮線路損耗的情況，由式(18)可知，系統的諧振輸電距離lresnt仍可用式(21)進行計算。對于本文中的測試系統，lresnt約為2707 km，βlresnt約為165.8°。

為分析輸電距離在lresnt附近時的系統特性，設定系統具有一般性的邊界條件：eg= 1.1 p.u.，er= 1.0 p.u.，則此時可以計算得到不同pg下的發電機無功功率qg隨l的變化情況，結果如圖2所示。

圖2 不同輸送距離和輸送功率下的qgFig. 2 qg of different transmission power and transmission distances

如圖2所示，線路長度l在lresnt附近(2700～2715 km)時，由于式(13)無解，系統無法運行。當線路長度l剛超出上述范圍時，系統可以運行，但發電機無功功率的絕對值很大。如：當θ=βl= 167°(即l約為2726 km)且pg分別為0 p.u.，0.5 p.u.，1.0 p.u.和1.5 p.u.時，qg分別為5.81 p.u.，4.06 p.u.，2.69 p.u.和1.53 p.u.。可見，pg越小，qg的絕對值越大。

隨著l與lresnt間距離的增大，發電機無功功率qg的絕對值逐漸減小。當l小于2639 km或大于2804 km時，不同pg下的發電機無功功率絕對值均減小到1 p.u.以下。

因此，為使系統可以運行，并使發電機無功功率處于合理范圍內，輸電距離需要遠離lresnt。

3 穩態過電壓分析

為進一步確定可行的輸電距離范圍，首先對系統穩態下的過電壓特性進行分析。根據長線方程可得，距離線路送端xkm處的電壓為：

ux=uschγx-iszCshγx

(22)

其中：

is=[(pg+jqg)/eg]*

(23)

us=eg-jisxg

(24)

其中，*表示取復數的共軛。

對于不同的輸送距離l，整條線路中出現的最大電壓分別記為ul,max。在設定的送、受端邊界條件eg= 1.1 p.u.，er= 1.0 p.u.下，對于不同pg和不同的輸送距離，可以根據式(22)計算得到沿線電壓值，并進一步得到ul,max。ul,max結果如圖3所示，其中圖3(a)為輸送距離在大范圍內變化時的結果，圖3(b)為小范圍內的結果。

圖3 不同輸送距離下的最大過電壓值Fig. 3 Maximum voltage along the line for different transmission distances

由圖3可知：(1) 對于不同的pg，當l接近lresnt時，ul,max均明顯增大；(2) 如圖3(b)所示，當θ在163.3°～164.6°或167°～168.2°之間時，ul,max隨pg的增大而減小；(3) 如圖3(a)所示，當pg為1.5 p.u.時，θ在120°～240°范圍內變化時，線路中總會出現明顯的過電壓，且大多數情況下，ul,max在數值上與pg相近。實際上，對pg大于1.0 p.u.情況，上述結論均成立；(4) 如圖3(a)所示，當pg為1.5 p.u.且θ大于217.1°時，系統無運行點；類似地，由圖3(b)可知，當pg為0 p.u.且θ在164.6°～167.0°之間時，系統也無運行點。

圖3只給出了沿線最大過電壓(ul,max)的值，還需要知道最大過電壓出現的位置。我們將沿線最大過電壓(ul,max)出現的位置記為xumax(以km為單位)或ul,max(以度為單位)或φumax(φumax=βxumax,以弧度或度為單位)。不同輸電距離下，最大過電壓及其出現的位置如圖4所示，具體數值在表3中給出。

圖4 不同輸送距離和輸送功率下的 最大過電壓及其出現位置Fig.4 Maximum voltage along the line and the location where it appears.

表3 圖4中特定點的具體數值Tab.3 Description of specified points in Fig.4

輸送功率pg/p.u.輸電距離θ/ (°)l/km最大電壓ul,max/p.u.最大電壓位置φumax/ (°)xumax/km1502 448.31.0860001672 725.85.35790.31 473.91802 938.01.099158.12 580.52103 427.71.126185.23 022.91502 448.31.081000.51672 725.83.59596.01 566.91802 938.01.072159.52 603.42103 427.71.1215.589.81502 448.31.0985.488.11.01672 725.82.446103.11 682.81802 938.01.071145.72 378.12103 427.71.088001502 448.31.39964.31 049.51.51672 725.81.787104.11 699.11802 938.01.38589.91 467.42103 427.71.501101.01 648.5

如圖4和表3所示，以pg= 1.0 p.u.為例，當輸電距離為2 448.3 km(150°)，2 725.8 km(167°)，2 938.0 km(180°)和3 427.7 km(210°)時，整條線路中最大過電壓分別為1.098 p.u.，2.446 p.u.， 1.071 p.u.和1.088 p.u.，最大過電壓出現的位置分別為88.1 km (5.4°)，1 682.8 km (103.1°)，2 378.1 km (145.7°)和0.0 km (0°)。

如果選擇ul,max<1.5 p.u.作為可接受的電壓范圍，則當pg在0～1.5 p.u.范圍內變化時，測試系統的可行輸電距離范圍為：

(25)

4 小干擾穩定性分析

發電機的轉子運動方程為：

(26)

式中：ω0，ωg，H，pm，D分別為系統額定角頻率、發電機實際角頻率、發電機慣性時間常數、發電機機械功率和發電機阻尼系數。在機械功率pm保持不變的假設條件下，可得到轉子運動方程在工作點(δg(0)，ω0)處的線性化方程為：

(27)

由式(27)可知，上述單機對無窮大系統的特征方程為：

(28)

由于H和D都是正數，因此系統小干擾穩定的條件最終變為：

(29)

定義Ksynch為同步系數，則半波長輸電系統的小干擾穩定特性可以總結為：如果Ksynch為正，則系統小干擾穩定；如果Ksynch為負，則系統小干擾不穩定。

在設定的送、受端邊界條件eg=1.1 p.u.，er=1.0 p.u.下，可以得到測試系統在不同輸送功率下，Ksynch隨輸電距離l的變化情況。結果見圖5和表4。

圖5 不同功率水平下Ksynch隨l變化的曲線Fig.5 Ksynch of different transmission power and transmission distances

表4 圖5中特定點的具體數值Tab.4 Description of specified points in Fig.5

輸電距離θ/(°)l/km輸送功率pg/p.u.同步系數Ksynch0-3.881502 448.30.5-3.911.0-3.881.5-3.7804.651672 725.80.56.691.08.211.59.4604.241802 938.00.54.311.04.331.54.2901.532103 427.70.51.501.01.281.50.74

如圖5和表4所示，以θ= 150°為例，當pg分別為0 p.u.，0.5 p.u.，1.0 p.u和1.5 p.u.時，Ksynch分別為-3.88，-3.91，-3.88 和 -3.78。由圖5可知，在所研究的輸電距離范圍內，當l小于lresnt時，Ksynch為負；當l大于lresnt時(如θ= 167°)，Ksynch為正。因此，只有在l大于lresnt時，系統小干擾下才可能穩定。

當考慮輸送功率在0到1.5 p.u.范圍內變化時，測試系統能保持小干擾同步穩定性的輸電距離范圍為：

166.8°<θ<217.1°

(30)

5 可行輸電距離分析

綜合考慮過電壓約束給出的可行輸電距離范圍式(25)和小干擾同步穩定性約束給出的輸電距離范圍式(30)，當輸送功率在0到1.5 p.u.變化時，測試系統的可行輸電距離范圍為：

170.1°<θ<210.0°

(31)

綜合考慮到電力系統在暫態過程中的頻率變化，這里設定的允許的頻率變化范圍為額定頻率的±3%，可以得到θ隨頻率偏差的變化曲線，如圖6所示。

圖6 θ隨頻率偏差的變化曲線Fig.6 θof different frequency

由圖6可以看出，當頻率偏差取-3%時，能同時滿足過電壓約束和同步穩定性約束的可行輸電距離范圍為：

2 862.3 km

(32)

當頻率偏差取+3%時，能同時滿足過電壓約束和同步穩定性約束的可行輸電距離范圍為：

2 695.6 km

(33)

2 862.3 km

(34)

6 暫態過電壓分析

本節研究半波長輸電系統在三相短路故障下的暫態過電壓特性。仍然采用第一節中給出的測試系統及暫態模型。假設輸電距離在式(34)給出的可行輸電距離范圍內。t= 0-時系統已處于穩態，故障發生時刻為t= 0+。故障期間系統模型如圖7所示。

圖7 故障期間系統模型Fig.7 System model under the three-phase short circuit fault

圖7中送受端各變量的意義與圖1相同。小寫字母表示標幺值，其基準值為線路自然功率和線路額定電壓；lf為故障點離送端的距離；uf為故障點電壓相量；isf和irf為故障點電流相量，方向如圖所示。

在波阻抗ZC的相角近似取0的條件下，根據輸電線路長線方程并利用短路點電壓uf= 0，可得：

(35)

則從送端向線路看，輸入阻抗zsf為：

zsf=us/is=th(γlf)

(36)

故障期間，eg的幅值保持不變。根據式(36)和送端等值電路圖7(b)，可得故障期間送端母線電壓和注入電流為：

(37)

根據長線方程和式(37)，在送端與故障點之間，距離送端x處的電壓為：

(38)

電壓幅值為：

(39)

可以證明，當(thγlf+jxg)的虛部等于0時，ux將取到最大值。因此，定義lfmax為Im(thγlf+jxg) = 0的解，其意義為：與其他故障點相比，在lfmax點故障，會導致最嚴重的過電壓。進一步定義最嚴重過電壓出現的位置為xf,umax，其意義為：當三相短路故障發生在故障點lfmax時，最嚴重過電壓(ufmax)出現在xf,umax處。根據上述定義，經過推導可以得到：

lfmax=(π-arctanxg)/β

(40)

xf,umax=lfmax-π/(2β)

(41)

(42)

從式(40)可以看出，lfmax在離送端不到半波長的位置，并且與eg和er無關。對于測試系統，βlfmax約為168.7°，小于式(34)給出的所有可行輸電距離l。這意味著線路上存在某一特定點，其故障將導致最嚴重的過電壓。

根據式(41)可知，發生最大過電壓的點剛好在距離故障點1/4波長處。

在PSS/E中進行仿真以驗證上述結論。采用圖1中的測試系統結構和第1節中給出的系統參數。設定輸電距離為3200 km。從線路送端開始，每隔160 km設置一個電壓測量點，并依次記為0～20。根據前述分析，當故障點距離送端2 753.4 km時(lfmax= 2 753.4 km)，最大過電壓(ufmax)將出現在1 284.4 km處(xf,umax= 1 284.4 km)，即出現在8號測量點(距離送端1280 km)附近。

在上述故障下，仿真可得系統沿線電壓分布如圖8所示。

圖8 lfmax點故障時沿線電壓分布Fig.8 Voltage profile under the three-phase short circuit fault at lfmax

圖8中，當pg分別為0 p.u.，0.5 p.u.，1.0 p.u.和1.5 p.u.時，最大過電壓(ufmax)分別為22.77 p.u.，22.59 p.u.，22.98 p.u.和23.91 p.u.，且均出現在8號測量點附近，與理論分析結果一致。同時，上述結果表明故障后最大過電壓遠高于10 p.u.，這在實際工程中是無法接受的。

7 暫態穩定性分析

故障期間，發電機注入線路送端的功率為：

(43)

(44)

故障期間，發電機的轉子運動方程為：

(45)

設故障在t=tclear時清除，則在故障清除時刻有：

(46)

下面僅針對故障發生在最嚴重故障點(lfmax)的情況進行分析。若故障發生在lfmax，則故障清除時有：

(47)

故障清除后，系統恢復到故障前的結構，發電機的電磁功率表達式與故障前一致，可近似采用無損線條件下的式(10)來表示：

(48)

圖9 最嚴重故障下發電機電磁功率與功角的關系曲線Fig.9 Schematic diagram of the generator electromagnetic power

圖10 臨界角度示意圖Fig.10 Schematic diagram of the critical phase angle

可見，發電機在故障清除后或者一直減速，或者減速一段時間后一直加速，無論哪種情況，系統都無法在最嚴重故障點故障后保持暫態穩定。實際上，即使采用考慮損耗下的電磁功率公式(13)，通過類似的分析也可以得到相同的結論。

上述結果表明，在發電機采用恒定電勢模型(經典模型)并忽略阻尼作用時，不管輸送功率大小，系統在最嚴重故障點故障后總是暫態失穩的。

下面通過仿真驗證上述結論。仍采用前述測試系統，送端發電機采用經典模型，H取8.692 p.u.，D取0；受端系統采用戴維南等效電路，并取xr=0.05 p.u.。仿真過程中，設置1 s時在lfmax處發生三相短路故障，在不同故障清除時間(0.03～0.11 s)下，送端發電機功角變化曲線如圖11所示。

圖11 送端發電機功角變化曲線(經典模型)Fig.11 The swing curves of the sending-end generator power angle (classical model)

由圖11可見，當p(0)g= 0 p.u.時，送端發電機功角δg在故障后持續減小；當p(0)g= 0.5 p.u.，1.0 p.u.和1.5 p.u.時，δg在故障后減小一段時間，之后持續增大。無論是哪種情況，系統在故障后均失穩，這與之前分析得到的結論完全一致。

當發電機采用詳細模型并考慮勵磁系統作用時(相關參數見附錄A2)，仿真結果如圖12所示。

圖12 送端發電機功角變化曲線(詳細模型)Fig.12 The swing curves of the sending-end generator power angle (detailed model)

綜上所述，當發電機采用詳細模型并考慮勵磁系統作用時，系統在上述故障下的穩定性是不確定的，取決于故障清除的時間。然而，能夠使系統保持穩定的故障清除時間是離散的，系統不存在臨界故障清除時間。

8 結論

針對十九世紀四十年代提出，最近又再次成為研究熱點的半波長輸電設想，本文采用理論分析與數值計算相結合的方法，進行了深入的分析，主要結論如下：

(1) 半波長輸電系統存在一個諧振輸電距離，該諧振輸電距離與送端系統和受端系統的等值電抗有關，與送端系統和受端系統的等值電勢無關。該諧振輸電距離小于半波長。

(2) 在諧振輸電距離下，沿輸電線路的最高電壓可以達到無窮大。因此，半波長輸電系統的輸電距離必須要大于諧振輸電距離。

(3) 當輸電距離小于諧振輸電距離時，半波長輸電系統是小干擾同步不穩定的。當輸電距離大于諧振輸電距離時，半波長輸電系統是小干擾同步穩定的。

(4) 綜合考慮穩態過電壓水平、小擾動同步穩定性以及電網實際運行時的頻率變化范圍3個因素，半波長輸電可行的輸電距離變化范圍是很窄的，對于本文采用的測試系統，可行的輸電距離范圍約為2900～3300 km。

(5) 半波長輸電系統存在一個最嚴重故障位置，在該故障位置發生三相短路時，距該故障位置四分之一波長處，出現最嚴重過電壓，數值大于10 p.u.。

(6) 在最嚴重故障位置發生三相短路時，若發電機采用經典模型并忽略阻尼，則不管故障切除時間和初始輸送功率為多少，系統總會失去暫態同步穩定。

(7) 在最嚴重故障位置發生三相短路時，若發電機采用詳細模型并考慮勵磁控制系統的作用，則系統的暫態同步穩定性是不確定的，與故障切除時間和初始輸送功率沒有確定的關系。

(8) 由于半波長輸電系統的暫態工頻過電壓超過10 p.u.并且暫態同步穩定性不能得到保證，因此半波長輸電的設想是不能成立的，半波長輸電沒有工程可行性。