高維球及其在物理學(xué)中的應(yīng)用

趙秋月，吳文良

（昭通學(xué)院 物理與電子信息工程學(xué)院，云南 昭通 657000）

0 引言

高維球(又稱超球)作為二維平面上的圓和三維現(xiàn)實(shí)空間的球在更高維空間延拓的數(shù)學(xué)概念，可以使一些復(fù)雜的物理問題簡單化，被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。然而由于高維球概念的抽象性，對于物理學(xué)的學(xué)生來說理解和應(yīng)用存在一定困難。現(xiàn)有的文獻(xiàn)如[1-3]等雖然對高維球概念進(jìn)行了研究和討論，但對初學(xué)者來說仍然較為難以理解和掌握。對高維球概念及其相關(guān)計(jì)算公式作一科普性的簡明的分析和介紹，對物理專業(yè)的學(xué)生以及鄰近專業(yè)的學(xué)生來說不無益處,本文對此作一嘗試。

1 從二維平面的圓到三維空間的球

1.1 二維平面的圓

圓是一種美妙的圖形。中國古代墨家的經(jīng)典著作《墨經(jīng)》中就有“圓，一中同長也”的記載，漢代的算書《周髀算經(jīng)注》中也有“圓徑一而周三”的認(rèn)識(shí)。古希臘的學(xué)者亞里士多德認(rèn)為，地上的物體的自然運(yùn)動(dòng)是卑賤的直線運(yùn)動(dòng)：火和氣往上運(yùn)動(dòng)，土和水往下運(yùn)動(dòng)；而天上的星體的自然運(yùn)動(dòng)則是高貴的圓周運(yùn)動(dòng)。古希臘天文學(xué)家進(jìn)一步認(rèn)為肉眼可見的五顆行星分別在繞動(dòng)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，這些圓周稱為本輪。而作為動(dòng)點(diǎn)的每個(gè)本輪的圓心又在繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)。這些圓周被稱為均輪。此后為了使理論和新的觀測事實(shí)相符合，學(xué)者們通過用在本輪之上再加本輪的方法，使得亞里士多德和托勒密的地心說成為了一門非常繁復(fù)的體系。即便在這一理論被哥白尼的日心說證偽之后，哥白尼仍然認(rèn)為行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)是完美的圓周運(yùn)動(dòng)，他在《天體運(yùn)行論》中說：“在所有行星的中心居住著太陽，在這個(gè)位置它可以一瞬間照亮整個(gè)宇宙。對于這個(gè)最壯麗的神殿，誰能將這盞明燈安放到另外或更好的地方？”開普勒把這盞明燈安放到了更好的地方，他發(fā)現(xiàn)太陽并不在行星圓軌道的中心，而是在行星橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上。

用數(shù)學(xué)專業(yè)的語言來說，圓是由點(diǎn)構(gòu)成的稱為平面的集合的子集。這個(gè)子集可以是圓周，即平面上到給定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合；可以是圓周內(nèi)部的點(diǎn)組成的開集，稱為開圓；也可以是圓周連同內(nèi)部的點(diǎn)組成的閉集，稱為閉圓。在笛卡爾平面直角坐標(biāo)系中，這三個(gè)集合可以分別用坐標(biāo)(x,y)表示為{(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2=R2},{(x,y)|(xx0)2+(y-y0)2＜ R2}和 {(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2≤ R2}。其中點(diǎn)(x0, y0)稱為圓的圓心，R稱為圓的半徑。在圓周所在平面上經(jīng)過圓心的直線與圓周交于兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的線段稱為圓的直徑，其長度為2R，圓周的長度與直徑之比稱為圓周率，用π表示。因此半徑為R的圓周長度為2πR。

要計(jì)算圓的面積需要用到積分。把半徑為R的圓分割成一個(gè)個(gè)寬度都是dr的無窮多個(gè)圓環(huán)，其中內(nèi)外半徑分別是r和r+dr的圓環(huán)的面積等于長和寬分別為2πr和dr的矩形面積。因此半徑為R的圓的面積等于這無窮多個(gè)圓環(huán)的面積之和，即：

可以用另外一種積分方法計(jì)算圓的面積：平行于圓的某條直徑把圓分割成無窮多條，每一條近似看作矩形，它的寬度為dy, 長度l隨著到圓心的距離|y|而變化：.因此半徑為R的圓的面積等于這無窮多個(gè)近似矩形的面積之和，即：

從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度，可以把半徑為R的圓周看作是一條長為R的線段繞經(jīng)過線段的一個(gè)端點(diǎn)且垂直于線段所在直線的某條軸旋轉(zhuǎn)時(shí)線段另一端點(diǎn)的軌跡。而作為閉集的圓則是整條線段旋轉(zhuǎn)一周所成的圖形。如果把半徑為R的圓周投影在一條直線上，得到的是距離為2R的兩個(gè)點(diǎn)；而作為閉集的圓的投影則是由那兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的長度為2R的線段。

1.2 三維空間的球

將半徑為R的圓周繞它的某條直徑旋轉(zhuǎn)一周，就得到三維空間中的一個(gè)球表面，即通常意義下的球表面。球表面內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，稱為開球，開球與其表面的并集，稱為閉球。球表面、開球和閉球都可以簡稱為球，顯然它們都是三維空間的子集。在笛卡爾（三維）空間直角坐標(biāo)系中，這三個(gè)子集用坐標(biāo)(x, y, z)分別表示為{(x,y,z)|(xx0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2}, {(x,y,z)|(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2＜ R2}和{(x,y,z)|(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2≤ R2}。其中點(diǎn)(x0, y0, z0)稱為球的球心，R稱為球的半徑。

我們可以把圓看作是三維空間中的球在二維平面上的投影。從而可以用如下的方法來計(jì)算球的體積。把球沿平行于過球心的某個(gè)球面將球體分割成無窮多個(gè)近似圓柱，每個(gè)圓柱的高為dz, 底面積為圓的面積。底面圓的半徑隨距球心的距離|z|而變化，并且圓的半徑與圓距球心距離的平方和就是球半徑R的平方，因此圓的體積為：

也可以把球分割成無窮多個(gè)厚度為dr的同心球殼，設(shè)半徑為r的球的表面積為S（3r）, 則有

把R看作變量，將等式兩邊對R求導(dǎo)數(shù)，得

再由已知的球的體積，得到半徑為R的球的表面積公式：

2 往更高維拓展

2.1 四維超球

在現(xiàn)實(shí)的三維空間中，我們不能像旋轉(zhuǎn)圓得到球一樣通過旋轉(zhuǎn)把球變?yōu)槠渌膸缀误w，但是我們?nèi)钥梢园讶S空間中的球想象為四維空間中的超球在三維空間中的投影。與三維空間中的球相類似，四維空間中的超球是四維空間的子集。所謂四維空間，是指由所有有序?qū)崝?shù)組（x1, x2, x3,x4)構(gòu)成的集合，每一個(gè)實(shí)數(shù)組稱為四維空間中的點(diǎn)。四維超球可以指稱超球的表面可以指稱超球的內(nèi)部或者二者的并集其中R為四維超球的半徑，點(diǎn)為四維超球的球心。可以把四維超球分割成無窮多個(gè)“球柱”，每個(gè)球柱的高為dx4，“底面積”分別是三維空間中半徑為的球的體積，從而得到四維超球體的體積公式：

式中符號(hào)“n!!”稱為n的雙階乘，表示所有不大于n且與n同奇同偶的正整數(shù)的乘積。也可以把四維超球分割成無窮多個(gè)同心超球殼，從而得到四維超球的表面積公式：

2.2 n維空間中超球的體積和表面積

一般地，n維空間中超球是n維空間的子集，是指由所有有序?qū)崝?shù)組（x1, x2, …,xn)構(gòu)成的集合，每一個(gè)實(shí)數(shù)組稱為n維空間中的一個(gè)點(diǎn)。n維超球可以指超球的表面可以指超球的內(nèi)部或者是二者的并集其中R為超球的半徑，點(diǎn)為超球的球心。可以把n維超球分割成無窮多個(gè)超球柱，每個(gè)超球柱的高為dxn，“底面積”分別是n-1維空間中半徑為的球的體積，從而得到n維超球體的體積遞推公式：

也可以把n維超球分割成無窮多個(gè)同心超球殼，從而得到n維超球的表面積公式:

2.3 二維球和一維球

高維球是低維球在更高維空間中的延拓，低維球則是高維球在較低維空間中的投影。因此，我們可以把圓稱為二維球，它的“球心”即為圓心，“體積”就是圓的面積，而“表面積”則是圓的周長。圓在一維平直空間中的投影是一段線段，因此可以把線段稱為一維球，它的“球心”即為線段的中點(diǎn)，它的“體積”即為線段的長度，而它的“表面積”則為2，即線段兩個(gè)端點(diǎn)的“大小”。

3 量綱分析導(dǎo)出n維超球的體積和表面積

3.1 n維超球的體積和表面積的一般公式

由于 f(2)=π, 故

代入（2）式，得

借助伽瑪函數(shù)

于是（4）和（5）可改寫為：

（4）～（7）即為高維球的體積公式和表面積公式。

3.2 五維、六維和七維球的體積和表面積

由n維超球的體積和表面積的一般公式，可以求出五維、六維和七維球的體積和表面積：

3.3 零維球

“一維球”線段在零維空間中的投影是一個(gè)點(diǎn)，因此可以把點(diǎn)稱為“零維球”。它的“球心”與“球”融為一體，“體積”等于1，與“半徑”無關(guān)：“表面積”等于0.將f(0)=1和f(1)=2代入（3）式，得到0!!=1.此即0的雙階乘的定義。

4 高維球在物理學(xué)中的一些應(yīng)用

4.1 理想氣體熵的計(jì)算

物理學(xué)中熵的概念有熱力學(xué)熵和統(tǒng)計(jì)物理學(xué)熵之別。熱力學(xué)熵是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)熵在熱力學(xué)中的表現(xiàn)，統(tǒng)計(jì)物理學(xué)熵是熱力學(xué)熵在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的本質(zhì)。熱力學(xué)熵又稱克勞修斯熵，定義為可逆過程的熱溫比，它是一個(gè)狀態(tài)量，當(dāng)系統(tǒng)從平衡態(tài)A經(jīng)可逆過程變?yōu)槠胶鈶B(tài)B時(shí)，系統(tǒng)的熵變?yōu)椋?/p>

在熱力學(xué)中，可以任意選擇一個(gè)平衡態(tài)的熵等于零。而在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的熵又稱玻爾茲曼熵，被定義為系統(tǒng)處于某一平衡態(tài)的熱力學(xué)概率W的對數(shù)，即

式中kB為玻爾茲曼常數(shù)，它在式子中的出現(xiàn)是由于在熱力學(xué)中把熵定義為熱溫比，而溫度則由各種不同的溫標(biāo)所定義。一旦把它規(guī)定為1（在自然單位制中），我們就可以定義一種新的溫標(biāo)。

對于理想氣體來說，可以把體積為V，物質(zhì)的量為n、單個(gè)分子質(zhì)量為m的單原子分子理想氣體系統(tǒng)看作質(zhì)點(diǎn)數(shù)為N=nNA的質(zhì)點(diǎn)系，系統(tǒng)的熱力學(xué)能等于質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能，即所有質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能之和，它決定了系統(tǒng)的熱力學(xué)溫度T。系統(tǒng)處于熱力學(xué)溫度T的平衡態(tài)的熱力學(xué)概率W正比于微觀狀態(tài)數(shù)Ω，即系統(tǒng)總動(dòng)能為E=3kBT/2的相點(diǎn)數(shù)。在經(jīng)典力學(xué)中，系統(tǒng)的能量可以取連續(xù)的值，因而相點(diǎn)數(shù)是無限的。可以認(rèn)為微觀狀態(tài)數(shù)與相應(yīng)的相空間體積成正比。對于單原子分子理想氣體來說，系統(tǒng)的能量與分子的坐標(biāo)無關(guān)，只要系統(tǒng)分子的速度分布在3N維速度空間中的半徑為v的球面上，則系統(tǒng)的熱力學(xué)能即為E=mv2/2.因此，系統(tǒng)能量介于（E1，E1+ΔE）之間的相空間體積為

而系統(tǒng)能量介于（E2，E2+ΔE）之間的相空間體積為

于是系統(tǒng)能量為E1與E2的微觀狀態(tài)數(shù)之比為

因而一定物質(zhì)的量的理想氣體，在等容變化過程中熱力學(xué)能由E1變化到E2，發(fā)生的熵變?yōu)椋?/p>

式中R為氣體普適常量。能夠取近似是因?yàn)镹對宏觀系統(tǒng)而言是一個(gè)很大的數(shù)。根據(jù)焦耳定律，理想氣體的熱力學(xué)能只是溫度的函數(shù)，因而

這正是熱力學(xué)中所得到的結(jié)果。

4.2 n維球坐標(biāo)系及其一些應(yīng)用

平面解析幾何中的極坐標(biāo)系可以看作二維球坐標(biāo)系，它用極徑ρ和一個(gè)極角θ來確定平面上一點(diǎn)的位置；空間解析幾何中是三維球坐標(biāo)系，它用矢徑r和兩個(gè)角坐標(biāo)θ,φ來確定三維歐幾里德空間中一點(diǎn)的位置。一般地，n維球坐標(biāo)系用矢徑r和n-1個(gè)角坐標(biāo)θ1,θ2, …，θn-1來確定n維歐幾里德空間中一點(diǎn)的位置。設(shè)半徑為r球心在原點(diǎn)的n維球面上的一點(diǎn)P在n維笛卡爾直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（x1,x2, …,xn)，則θ1定義為徑矢與第n條坐標(biāo)軸的夾角，即有xn=rcosθ1。當(dāng)θ1=0時(shí)，P點(diǎn)在垂直于第n條坐標(biāo)軸的n-1維歐幾里德空間中的投影是原點(diǎn)，P點(diǎn)的其余直角坐標(biāo)x1，x2，…，xn-1均為0；當(dāng)θ1≠0時(shí)，P點(diǎn)在垂直于第n條坐標(biāo)軸的n-1維空間中的投影P1位于球心在原點(diǎn)半徑為rsinθ1的n-1維球面上。從而可將θ2定義為與第n-1條坐標(biāo)軸的夾角，即有xn-1=rsinθ1cosθ2。類似地可以定義其余角坐標(biāo)。需要注意的是：θn-1并不是與第2條坐標(biāo)軸的夾角（其中Pn-2為Pn-3在二維平面上的投影），而是與第1條坐標(biāo)軸的夾角，其取值范圍為0≤θn-1＜2π。其余角坐標(biāo)的取值范圍均為0≤θi＜π(1≤i≤n-2).由P點(diǎn)的n維球坐標(biāo)（r，θ1，θ2，…，θn-1）,可求出其直角坐標(biāo)（x1，x2，…，xn)：

應(yīng)用高維球坐標(biāo)系，李春樹[2]對帶電膠體系統(tǒng)中排空作用開展了研究，翁愛華等[3]對大地電磁測深資料作了分析；劉云等[4]討論了靜態(tài)荷電球體的Einstein-Maxwell場方程；王沂軒等[5]計(jì)算了三電子原子的基態(tài)能態(tài)；馮名誠等[6]研究了弱磁場中的二維D～-中心。囿于筆者學(xué)識(shí)所限，這里不再一一詳加討論。

5 結(jié)語

高維球這一數(shù)學(xué)概念廣泛應(yīng)用于不同的學(xué)科領(lǐng)域，使一些問題的解決得到大幅度的簡化。掌握高維球的概念，靈活運(yùn)用相關(guān)公式，能夠提高解決問題的能力。本文介紹了高維球在物理領(lǐng)域的一些應(yīng)用。以期為我們的學(xué)習(xí)和研究提供一定的參考。