Jurkevich方法的誤差分析

楊海燕，李孝攀，黨興菊

（昭通學院，物理與信息工程學院，云南 昭通 657000）

0 引言

為分析部分活動星系核可能存在的周期性光變，天文學家們提出了一些可行的周期分析算法。這些算法都充分考慮了天文觀測數據非均勻、大誤差的特點。例如：Jurkevich于1971年提出的一種專門用于分析非等間距數據的期望均方誤差統計方法(Jurkevich方法)[1]；Scargle于1981年在Lomb算法[2]基礎上提出的著名的Lomb-Scargle(LS)周期圖法[3]。Stellingwerf于1978年提出的狀態彌散最小化算法(Phase Dispersion Minimization,PDM)算法[4]；，Ferraz-Mello于1981年提出的時間補償離散傅里葉變換(Date-compensated Discrete Fourier Transform, DCDFT)算 法[5]；Simonetti于1985年提出的結構函數（Structure Functions, SF）法[6]；Edelson 和 Krolik于1988年提出的離散相關函 數 (Discrete Correlation Function, DCF)算 法[7]；Alexander于1997年對DCF算法進行了改進和發展，得到的Z變換離散相關函數(Z-transformed Discrete Correlation Function, ZDCF)算法[8]。Foster于1996年提出的對非平穩信號分析有獨特的優勢的加權小波Z變換(Weighted Wavelet Z-transform,WWZ)算法[9]。以上方法被廣泛應用于活動星系核周期性光變的研究中，對天體輻射機制的研究、輻射區的限定、天體質量的估算等起到了重要的促進作用。

天文觀測的局限性會導致觀測數據不連續性。Jurkevich方法在不等間距數據處理方面有著獨特的優勢，被廣泛用于活動星系核長周期光變的研究。1998年，樊等[10]使用Jurkevich方法研究了NGC4151自有數據記載以來的光學資料，發現NGC4151的光學波段可能有（14.04±0.8）a的周期性光變；2000年，蘇[11]也應用Jurkevich方法對PKS2251+158近100年光變數據進行研究，得到該目標在光學B波段的光變周期約為12.39 a；2001年，樊等[12]再次使用Jurkevich方法研究了3C273自1887年至1997年以來的光學數據，發現光變曲線具有明顯的2.0 a光變周期。近年，Li等[13]使用LS方法和Jurkevich方法研究了3C 454.3的多波段光變曲線，發現該目標在紅外、光學、軟X射線和γ射線波段的光變均存在(210.8±12)d的周期；使用Jurkevich方法，Li等[14]還得出Mrk421射電15 GHz、X射線和γ射線波段的光變曲線可能具有(287.6±4.4) d、(309.5±5.8) d和(283.4±4.7) d的光變周期；Fan等[15]使用ACF、SF和Jurkevich方法研究了AO 0235+164 R波段2004-2012年光變曲線，得到了該目標在R波段可能具有(0.55±0.03) a的光變周期；Xiong等[16]使用REDFIT，LS和Jurkevich方法研究了3C 273 V波段1968-2016年的光變曲線，得到了該目標在V波段可能具有(3918±1121) d的光變周期。

本文在介紹Jurkevich方法原理的基礎上，推導并討論了該方法的誤差公式，最后使用該方法研究了耀變體PKS 2155-304光學I波段光變曲線的光變周期。

1 Jurkevich方法

Jurkevich方法[1]是基于期望均方差的一種統計學方法，被用于處理非等間距數據。數據樣本是由N個數據構成的，其中樣本的平均值、離差平方和、方差分別為：

Jurkevich方法將數據根據試驗周期來進行折疊分組處理，然后對得到的每一批分組數據計算平均值、離差平方和再對每組的離差平方和求和得到總離差平方和其中第l分組的平均值、離差平方和及方差分別為：

以上三個式子中的Nl為第l組觀測數據的個數，則m組各自離差平方和的總和為：

對給定的數據樣本，V2不受試驗周期影響，但和對試驗周期的變化很敏感。當試驗周期不是真實周期時，很小；當試驗周期與真實周期很接近時，由于各組平均值的變化差異較大，此時大很多，即減小。因此當取得最小值時，滿足試驗周期和真實周期相等。令試驗周期為P，可通過作找到圖中的極小值點對應的試驗周期值來確定數據樣本的周期。

2 Jurkevich方法的誤差

2.1 誤差公式的推導

在物理測量中，設被測量y和各直接測量量x1，x2，…，xn之間的函數關系為：

若xi的誤差為△xi，則y的誤差可表示為

上式為誤差傳遞公式。根據以上公式，在Jurkevich方法中，我們將xi視為獨立變量，且只考慮xi測量的誤差△xi，則V2的誤差可表示為

在Jurkevich方法中，我們將所有的數據按照相位進行分組，分組后每一個分組的和未分組的V2函數形式是一樣的。因此，的誤差為

2.2 誤差公式的驗證和討論

為研究Jurkevich方法誤差公式，我們構造了一個信號

添加均值為0.3、方差為0.05的高斯白噪聲，如圖1所示，使用Jurkevich方法隨機取100個不等間距數據進行分析，取分組數為9，如圖2所示，由于誤差較小，Jurkevich圖中不能直觀顯示，這里截取圖中第一個周期成分所在位置附近進行放大，從放大圖中可以看出Jurkevich方法的誤差，但該誤差對Jurkevich方法的結果影響并不大。使用(15)式得到的Jurkevich方法誤差的平均值為0.021，標準差為0.001.當取分組數為5時，使用(15)式得到的Jurkevich方法誤差的平均值為0.012，標準差為0.008.

圖1 添加高斯白噪聲的信號圖

圖2 添加均值為0.3、方差為0.05的高斯白噪聲后的信號及分組數為9的Jurkevich方法結果

天文觀測數據，特別是X射線和γ射線的觀測數據常常具有較大的誤差。為進一步研究Jurkevich方法的誤差，我們采用(16)式構建的信號，添加均值為1.0、方差為0.1的高斯白噪聲，使用Jurkevich方法隨機取100個不等間距數據進行分析，取分組數為9，如圖3所示，由于誤差較小，Jurkevich圖中不能直觀顯示，因此截取圖3中第一個周期成分所在位置附近進行放大，從放大圖中可以看出Jurkevich方法的誤差，但該誤差對Jurkevich方法的結果影響并不大。根據(15)式得到分組數為9時的Jurkevich方法誤差的平均值為0.040，標準差為0.013.當取分組數為5時，Jurkevich方法誤差的平均值為0.032，標準差為0.015.

經過以上分析可以看出，當測量值xi的誤差較大時，Jurkevich方法的誤差也會隨之變大。分組數的選擇對Jurkevich方法的誤差也有影響，且誤差會隨分組數增大而增大；盡管如此，Jurkevich方法仍能直觀高效地反映出待測信號的周期特征，該方法的誤差較小，且遠遠小于觀測數據的誤差，并不會影響值的判斷。

3 PKS 2155-304光學I波段的光變周期

PKS 2155-304是南天區一個很好的高頻峰BL Lac研究對象，紅移量z為0.116，是在X射線和遠紫外波段最亮的BL Lac天體之一 。PKS 2155-304是自從上世紀70年代發現以來最受關注的研究目標之一，目前可以使用的觀測數據覆蓋了射電波段到TeV能級的γ射線波段[18-19]。2000年，Fan & Lin[20]收集了近17年的UBVRI的觀測數據，使用Jurkevich方法等得到了光學V波段具有約4.16 a和7.0 a的準周期。2012年，畢等人[21]通過對2004到2011年的觀測數據應用Jurkevich方法進行分析，得到PKS 2155-304光學R波段具有314 d的中短時標光變周期。Zhang等人[22]搜集到了約35 a的R波段光變曲線，使用Jurkevich方法等三種方法得到了PKS 2155-304在光學R波段具有317 d的準周期。

本文從文獻[23]中搜集了2005年4月11日到2012年6月30日的281個非均勻觀測數據，可以看到，在整個觀測區間，PKS 2155-304表現出劇烈的光變，其中亮度的最大值11.332星等，最小值為13.492星等，且表現出一定周期性。圖4為BL Lac天體PKS 2155-304在光學I波段的光變曲線。

圖3 添加均值為1.0、方差為0.1的高斯白噪聲后的信號及分組數為9的Jurkevich方法結果

圖4 PKS 2155-304光學I波段光變曲線

使用Jurkevich方法對PKS 2155-304光學I波段的光變曲線進行周期分析的結果如圖2所示。使用(15)式得到的Jurkevich方法誤差的平均值為4.51×10-4，標準差為1.96×10-4。由圖5可以看出該天體在I波段的光變曲線中有兩個明顯的低谷，對這兩個低谷做高斯擬合，以FWHM作為這兩個周期的誤差。擬合結果為P1=(312.00±16.17) d，P2=(644.00±9.77)d，f=2.16＞0.5，上述結果都符合F判據中具有明顯周期性的條件，因此對應有兩個明顯的周期成分。使用Jurkevich方法對周期可靠性判斷應當滿足以下兩個條件：(1)數據時間跨度大于準周期的6倍；(2)有明顯振幅。結果中P1=(312.00±16.17)d滿足Jurkevich方法對周期可靠性的判斷，所以P1=(312.00±16.17) d是PKS 2155-304在光學I波段具有的準周期，而P2=(644.00±9.77) d則不滿足時間跨度大于6個周期的限制條件，故舍去。

圖5 PKS2155-304光學I波段Jurkevich圖

使用Jurkevich方法對PKS 2155-304光學I波段2005年到2012年近7年的光變曲線進行周期分析的結果表明，PKS 2155-304在光學I波段可能具有(314.17±11.91) d的光變周期。這一結果與Sandrinelli等[24]發現的PKS2155-304在光學B波段約315 d的光變周期一致，也同Zhang等[22]發現的PKS2155-304在光學B波段約317 d的光變周期相吻合。表明以上兩個波段的輻射有著良好的相關性。

4 結語

本文在介紹Jurkevich方法原理的基礎上，推導并討論了該方法的誤差公式，最后使用該方法研究了耀變體PKS 2155-304光學I波段光變曲線的光變周期。通過對平均誤差為0.01為耀變體PKS 2155-304光學I波段的光變曲線進行了周期分析，根據(15)式得到的Jurkevich方法誤差的平均值為4.51×10-4，標準差為1.96×10-4，以及PKS 2155-304在光學I波段可能具有（314.17±11.91）d的光變周期。進一步驗證了Jurkevich方法能夠高效地分析不等間距數據中的周期成分，并且是一種研究光變周期誤差極小的方法。同時也證明即使在待分析數據誤差極大的情況下，該方法的誤差對低谷的選取和F判據的使用都沒有影響。