關于復指數函數的定義

段江梅

（昭通學院 數學與統計學院，云南 昭通 657000）

1 引言

在復變函數中，復指數函數ez是最主要也是最簡單的初等函數.因此復指數函數的定義及其性質是初等函數中的重點研究對象.在經典教材鐘玉泉編《復變函數論》及B.B.沙巴特編《復分析導論》中給出指數函數的定義.

定義1 對于任何復數z=x+iy，用關系式

來規定指數函數ez.

定義2 用極限關系來定義指數函數ez

下面給出這兩種定義的構造形式.

2 復指數函數的定義

2.1 定義1的構造形式

（1）當y=0 時，f(z)=ex，這個函數就是實指數函數.

（2）f(z)在z平面上解析，且

這四個偏導數在z平面上處處連續，且滿足方程，因此在z平面上解析，并且實指數函數具有類似的性質.

（3）進一步，還易驗證：

實指數函數同樣具有類似的性質.

事實上，由條件（1）（3）知

又因f(z)在z平面上解析，故由C.-R.方程得

這是二階常系數齊次線性微分方程，方程的通解為

其中c1，c2為任意常數.

2.2 定義2的構造形式

像在實分析中一樣以極限關系來定義指數函數ez：

下面證明這個極限對于任意z∈C的存在性.

為此令z=x+iy，并注意到，由冪的提升規律有

由此看出，存在

這意味著極限（4）存在，并且可以寫為極坐標形式：