小實驗 大玩場

朱雪蓮 饒大燕

在一次教師培訓中，筆者有幸聆聽到蔡金法教授的講座，他在講課過程中給學員們呈現了一個數學經典問題——“三門問題”，組織大家采用小組合作方式開展研究。學員們對形成“換門”“不換門”“投幣”的解決策略沒有疑義，但由于問題的正確結果和解題者的直覺反應有著很大的差異，引起了大家的爭議?；氐綄W校后，筆者對這個問題一直懷有濃厚的興趣，雖然可以通過百度查詢到結果，但是久久沒有找到一個能說服自己的解題辦法。

一、實驗解讀

三門問題（Monty Hall problem），亦稱為蒙提霍爾問題或蒙提霍爾悖論，出自美國的電視游戲節目Let's Make a Deal。參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇門的后面有一輛汽車，選中后面有車的那扇門可贏得該汽車，另外兩扇門后面則各藏有一只山羊。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題是：換另一扇門是否會增加參賽者贏得汽車的概率？

面對這個問題，直覺告訴人們：如果被打開的門后什么都沒有，這個信息會改變剩余的兩種選擇的概率，哪一種都只能是二分之一。顯然，這是一個概率論和人的直覺不太符合的例子，這告訴我們在做基于量化判斷的時候，要以事實和數據為依據，而不要憑主觀和直覺來決定。我們可以從合情推理或通過計算得出相應的概率。

推理過程如下：如果參賽者選擇了一扇有山羊的門，主持人必須挑另一扇有山羊的門；如果參賽者選擇了一扇有汽車的門，主持人隨機在另外兩扇門中挑一扇有山羊的門。我們可以遍歷所有可能，那么假設參賽者選擇1號門，就會存在三種可能情況：

A.參賽者選擇汽車，主持人選擇山羊甲，轉換失敗。

B.參賽者選擇山羊甲，主持人選擇山羊乙，轉換成功。

C.參賽者選擇山羊乙，主持人選擇山羊甲，轉換成功。

可見轉換選擇后的成功概率為三分之二。

計算過程如下：使用數學工具貝葉斯公式。我們用事件A代表參賽者第一次選擇的門后是汽車，B代表主持人打開的門后是山羊。那么已知B的情況下，A發生的條件概率P{A|B}用貝葉斯公式可得：

P{A|B}= P{A}P{B|A}/ P{B}

顯然，第一次選對的概率，即P{A}=[13]。因為主持人知道門后對應的東西，所以只選擇開啟有羊的門，于是，主持人一定選擇山羊，事件B一定發生：P{B|A}=1，P{B}=1，那么P{A|B}=[13]，所以不換的勝率是[13]，因此換門的勝率是[23]。

二、實驗目標

擬通過1個課時的“三門問題”探究學習，達成以下學習目標：

1.知道什么是“三門問題”，通過猜想、推測、實驗、分析，初步理解不換門、換門、投幣三種策略贏得汽車的概率，培養學生的統計素養。

2.培養學生勇于猜想、積極合作、大膽求證、觀察分析等的科學研究精神。

3.通過聯系生活，學生感受數學與生活的密切聯系，感受數學的價值。

三、實驗過程

（一）“要不要換門”——創設實驗情境，激發認知沖突

【教學片段一】

師：看明白了沒有？看明白的同學簡單地復述一下游戲規則。

生：就是有三扇門，三扇門后各藏有一件獎品，兩件是山羊，一件是汽車。猜獎者任選一扇門并得門后的獎品。在猜獎者當場選定一扇門未打開前，主持人打開了另外一扇門，發現后面是羊。

師：這時，你打算怎么辦？

生：堅持原來的選擇。

生：改猜另一扇門。

生：投一枚硬幣，正面朝上選擇不變，反面朝上改猜另一扇門。

【環節點評】

富有趣味性的學習內容，使學生產生探究的興趣與欲望。通過讓學生觀看綜藝節目微視頻的形式導入新課，數學游戲內容豐富且直觀，又含有較高的思維含量，讓學生對“三門問題”產生濃厚的學習興趣。在猜獎者當場選定一扇門未打開前，主持人打開了另外一扇門，發現后面是羊。教師拋出問題：“這時，你打算怎么辦？”在實驗模擬情境中，有效喚醒了學生已有的統計知識經驗，引發學生的認知沖突。

（二）“換門的勝算大嗎”——大膽猜想，試析 引發實驗需求

【教學片段二】

師：同學們，現在出現了三種策略，你覺得哪種策略獲得汽車的概率更大？

生：我覺得三種策略的可能性都是一樣的，都是三分之一。

師：你的猜測非常大膽，誰還有不同的想法？

生：我覺得不一定是三分之一，因為策略三換門和不換門的概率是不一樣的。如果你拋到正面，正面是不換門，反面是換門，那么換門的概率會更大一些。

師：你有不同的意見，你覺得這三個哪個是有問題的？

生：拋硬幣。

師：那拋硬幣的概率應該是多少？

生：我覺得拋硬幣的概率應該是二分之一，硬幣有兩個面，隨便拋一個就是正面或反面。

生：我認為三個都是二分之一，因為最后剩下的都是對換門和不換門這兩種情況進行選擇。

師：你們都很會猜想，三種策略贏得汽車的可能性分別是多少？怎么辦呢？

生：就和原來解決拋硬幣、摸乒乓球的問題一樣，做個數學實驗吧。

【環節點評】

每個人都有猜想的潛能，當一個人的思維被激活，迫切地想知道某個問題的答案時，往往都會先進行猜想，以滿足自己求知的欲望。所以在拋出問題“哪種策略獲得汽車的可能性更大”時，一下子就激發了學生的學習熱情和積極性，讓學生產生主動猜想的欲望。同時，教師創設了一個良好的課堂氛圍，學生根據自己的理解提出猜想，在對話交流中拓寬了解決問題的視野，從而獲得解題的思路，提出做數學實驗的需求。我們也發現，在研究一個新的數學問題時，不可能總有先例可供參考，這時就需要大膽地發揮猜想，突破原有的桎梏，敢于實踐求知。而寬松和諧的課堂氛圍能使學生的思維活躍，多元、新奇的猜想才可能出現，點燃學生創新學習的火花。

（三）“哪種勝算更大”——經歷實驗過程，驗證實驗猜想

【教學片段三】

1.實驗前制訂實驗規則。

師：既然要做數學實驗那就應該有規則，你覺得要注意些什么？

生：主持人應做到保密、公平，不能提前泄露汽車在哪兒。

生：主持人自己要對汽車心中有數，隨機選擇汽車。

生：做實驗時，實驗的次數盡量要多一點，實驗會更加準確。

師：我們是否要先確定小組成員，想一想小組成員有幾人？

生：需要一個主持人和一個猜獎者。

師：除了主持人、猜獎者還可以增加，你們覺得還可以增加哪些成員？

生：觀察員、記錄員，幫忙記錄結果和監督……

2.實驗中需要注意的事項。

師：我們用三個紙杯代替三扇門，分別在紙杯底部寫有“車”“羊”“羊”字樣，反過來放在桌面上。在做實驗過程中，還應該注意什么呢？請同學們觀看一段模擬視頻。

生：實驗紙杯要一模一樣。

生：不能在三個紙杯上做記號，否則會影響實驗結果。

生：每次猜完，主持人要調換紙杯的位置，猜獎者要遮住眼睛不能偷看。

生：猜獎者心態要好，不要一個勁地想得到汽車，影響可能性大小。

師：是的，實驗過程中，實驗者的態度影響著實驗結果，贏得汽車不是我們的最終目的，探究三種策略哪種獲得汽車的可能性最大，才是我們的研究目的。我們用紙杯代替門，雖然研究條件簡陋，但只要我們遵守實驗規則，結果仍然有效。

教師介紹實驗單使用方法。

2號實驗單

實驗換門策略贏得跑車的可能性 實驗員（ ）

師：考慮到策略3硬幣容易滾落，所以建議采用投幣策略的同學，可以多領一個紙杯，用手掌蓋住杯口，充分搖動杯中硬幣。

3.自由組合實驗小組。

根據每個學生選擇的最想參與的實驗策略，調整學生座位，自由組合實驗小組并領取實驗材料。

【環節點評】

在實驗探究過程中，我們設置了開放型的探究活動，即學生自己制訂實驗過程的注意事項，自主選擇喜歡的一種策略做實驗，自主確定同伴的人數和小組成員的分工，真正把課堂變成人人參與、個個思考的空間。在做實驗過程中，每個小組的記錄員及時記錄猜獎者的實驗結果，是獲得羊還是汽車。選擇不換門策略的小組會很快發現，當猜獎者做出第一個選擇之后，主持人打開了山羊這扇門，猜獎者再次做選擇這個環節其實是無效的，所以實驗過程只需要前半程即可。選擇換門策略的小組也會在實驗中頓悟，第一次選擇山羊的結果肯定是贏得汽車，山羊對應兩扇門，所以贏得汽車的可能性大。這些實驗的臨場感悟，為學生更好地理解實驗現象背后的緣由打下了基礎。

（四）“為什么要換門”——比較辨析明理，探索實驗緣由

【教學片段四】

1.借力實驗數據，質疑猜想。

（學生進行匯報，匯報后師生一起統計總次數、選中次數，計算選中百分比）

師：請同學們比較一下我們最初的猜測和實驗數據，你想說什么？

生：差得很多，換門的和拋硬幣的兩種概率。

師：你想說的是這兩個數據比我們猜測的要高很多，是嗎？

生：我們猜測是二分之一，但實際是32.5%，感覺有點奇怪。

師：也就是它和誰比較接近？三分之一。

生：我們一開始以為三種策略的概率是一樣的，但是發現原來換門的概率最大，其次是拋硬幣。

生：我發現其實換門和不換門的就是互補的，加起來是“1”，如果不換門的概率小那么換門的概率必然大。

師：現在這些實驗數據出來了，你覺得準確嗎？

生：可能不太準確。

2.借力樣本數據，完善猜想。

師：只憑這幾組數據，我們能驗證自己的猜想了嗎？

生：我們做的實驗次數還太少，實驗結果可能還不夠準確。

師：那現在我們就增加實驗的次數，進一步驗證猜想。（樣本數據演示）

師：比較自己的實驗結果和電腦軟件大數據實驗結果，你有什么發現？

3.借力合情推理，理解本質。

師：那么，為什么不換門的可能性是三分之一呢？

生：因為不換門中有三扇門可以選一扇，猜中的就只有一扇門，所以就是三分之一。

師：為什么換門的可能性是三分之二呢？

生：就是換門和不換門是互補的，一個是三分之一另一個就是三分之二。

生：第一種可能是羊、羊、車，二號門的可能是羊、車、羊，三號門可能是車、羊、羊。好，我們來看，如果第一次選中的是羊，主持人打開羊，我們選擇的就是車。第二次選擇的是車，主持人打開的是羊，我們換門選擇的也是羊。第三次我們選擇的羊，主持人打開的也是羊，我們換門就是車。這三種情況贏得汽車的概率就是三分之二。

【環節點評】

學生通過動手實驗，樣本數據分析和合情推理層層展開，步步深入，學生經歷了猜想、實驗、驗證和推理的探究過程，從中挖掘“三門問題”所蘊含的奧秘，從而進一步建立“三門問題”的數學模型。從第一次對比最初猜測和我們的實驗數據，學生驚奇地發現：三種策略的統計結果跟最初的猜想有較大的偏差，學生猜測換門和投硬幣的概率都是二分之一，但實驗數據比我們的猜測要高；第二次對比我們的實驗數據和大數據實驗數據，讓學生感受到統計建模與一般的數學建模有所不同，它充滿了很強的不確定性，我們需要盡力降低這種不確定性，盡量對這種不確定性進行量化。從而進一步啟發學生，感性經驗和猜想有時并不是很準確，猜想還需借助實驗數據進一步驗證，如果不動手實驗，思維將會受到阻礙或發生錯誤，數學實驗相當于給學生搭建了一副理解數學本質的“腳手架”。

四、教學反思

上數學實驗課的目的是讓學生在實驗操作中不斷積累“做的經驗”“想的經驗”，在此過程中體驗數學、感悟數學，完成數學化的學習過程，觸摸數學本質。上好一節數學實驗課還要注意以下幾點。

（一）素材選擇需有度

“三門問題”是一個富有挑戰性、有一定難度的數學問題，往往會給人們造成理解上的困惑，更何況是小學生。我們相信，只要找到一個合適的途徑和方法，一些高等數學知識也可以讓小學生進行理解?？紤]到六年級學生有一定的概率知識儲備，借助數學實驗和合情推理，可以促進學生理解“三門問題”的解題策略。不過，我們也注意到一個現象，有部分學生雖然完成了教學流程，對學習材料也保持著濃厚的興趣，但對和自我最初猜想差異較大的正確結果還會有一個理解的過程，我們要允許學生有自我調整的學習過程。

（二）學生猜想有引導

當學生出現猜想時，不能因為學生說不清緣由而指責學生“瞎猜”或“胡說八道”，而應該及時鼓勵，適時表揚，容忍學生出現短暫的“忘乎所以”，久而久之，學生就不會有所顧慮，遇到新問題時便敢于猜想。在鼓勵學生大膽猜想的同時，適時引導學生對其思路進行矯正，如果教師發現學生的猜想完全偏離軌道，可以適當追問或提供一些小建議，引導學生調整思路，重新分析，久而久之，學生猜想的方法越來越合理化，真正讓猜想為學習所用，讓猜想為課堂所用，猜想才更具有意義。

（三）實驗組織重有效

在做實驗前，如果“三門問題”游戲規則要求不明確、不到位，代替三扇門的三個杯子形狀、顏色不一，實驗者的心態，這些都會增加學生實驗的難度，使得實驗數據不夠穩定，使一些學習水平和理解能力不足的學生產生困難，對大數據實驗結果產生懷疑，白白浪費了寶貴的學習時間。又比如，有一些學生選擇投幣實驗，可以提醒學生把硬幣放入紙杯，杯口用掌心蓋住搖動，可以讓實驗數據更準確。所以，教師在設計活動要求時應簡要、明確，提供充分的實驗時間，關注學生的實驗進度、探究互動和辨析明理的過程。

（四）數學思考要充分

毋庸置疑，“三門問題”是集趣味和難度（與直覺相悖）于一體的，沒有一定的思考和實驗時間，只能淪為機械操作，無法獲得實質性的思維提升。對游戲的理解也好，對實驗規則的設計也好，還是實驗過程，都應讓學生手腦并用，注重培養學生邊觀察、邊想象、邊思考的習慣?？梢圆捎谩跋茸龊笙搿被颉跋认牒笞觥钡确绞剑瑢⒂^察與操作、想象與操作、想象與思考等結合起來，提高實驗活動的質量。

課即將結束，學生還沉浸在“三門問題”的思考中，猜測如果是四扇門、五扇門或更多的門，同樣的游戲規則，結果又會是怎樣的呢？提出問題的學生還不斷提出解決問題的新規則和方法。教師讓學生給這節課取個題目，學生紛紛拋出：車羊問題、贏車問題、三門問題、三門風波等。正如一位學生所說的，從最初的猜想可能性是二分之一，到實驗所得三個不同的數據，雖然知道了結論，但這個結論和猜想相差較大，心理好比過山車一樣，經歷了一場“三門風波”。可見，從研究三扇門的獲獎概率問題，到研究四扇門、五扇門甚至更多的門的獲獎概率問題，對學生而言，他們經歷的是學習之旅，思維之旅，精神升華之旅。這就是數學實驗課的魅力所在！

（浙江省杭州市文三教育集團文三街小學 310012）