“籃球圈的秘密”項目式學習的實踐與思考

姚江峰

【摘 要】項目式學習是以問題為導向的學與教的方式。以“籃球圈的秘密”為例，教師可以利用教材中的內容作再次延伸和拓展，從開放式預案到統一性方案的過程是數學項目式方案制訂的好路徑，側重研究方法的評價是學生數學項目式學習的重要方向。

【關鍵詞】項目式學習；材料選擇；方案制訂；評價方向

項目式學習是以問題為導向的學與教的方式，主要是導引學生對真實世界的、復雜的問題（任務/主題）進行研究，以小組合作的方式制訂實施計劃并進行實踐探索，通過信息收集、調查研究、分享討論，最終解決問題或完成作品。項目式學習活動通常持續時間長，更具挑戰性和開放性，能有效促進學生深度投入學習活動，能有效實現知識的綜合運用，積累問題思考和問題解決的經驗，提升學生的動手能力、計劃以及執行項目的能力、團隊合作能力、創造力和領導力，促進終身學習技能的獲得和綜合素養的發展。下面以“籃球圈的秘密”為例來談項目式學習的設計與實施。

一、提出研究問題

為了讓項目式學習的內容更貼近學生的生活和興趣，同時也為了充分利用教材內容作延伸和拓展，在學生學習“確定起跑線”這個教材內容之后，向學生提出這樣的問題：通過“確定起跑線”的項目研究，我們發現了跑道起跑線中蘊藏的數學秘密。那你們還想研究體育運動中哪些隱藏的秘密？

“一問激起千層浪”，學生紛紛尋找體育運動中自己感覺疑惑的地方。通過思考和討論，同學們提出了以下這些問題：“為什么跑道兩邊直兩頭圓”“排球網的高度”“身高與跳高的高度關系”……筆者把它們一一羅列在黑板上，并組織大家一起思考和討論。最終，有一個問題引起了大家的共鳴和濃厚的研究興趣。“為什么足球小網框很大，但籃球大籃圈卻很??？”通過對問題的進一步梳理，最終把項目研究的焦點指向“籃球圈的秘密”：籃球和籃球圈的大小有什么關系？

[籃球圈的秘密：籃球和籃球圈的大小有什么關系？]

【感悟與思考】

在平時的教學中，教師總是絞盡腦汁地尋找作為學生數學項目式學習活動的好材料、好內容。其實很多數學項目式學習的好材料和好內容就藏在教材之中，也可以利用教材之中的內容作再次延伸和拓展。本次項目式學習的案例是從教材“確定起跑線”一課的內容出發，通過“你們還想研究體育運動中其他哪些隱藏的秘密？”問題，趁熱打鐵，觸發學生的熱情和興致，拓展學生的思維，再通過對學生問題的梳理歸納提煉，得到了本次項目式學習的主題：籃球圈的秘密。

二、項目方案設計

環節1：分組討論制訂項目研究預案

“籃球圈的秘密：籃球和籃球圈的大小有什么關系？”如何展開研究？請學生以四人小組為單位設計一份切實可行的研究方案，研究預案要求體現怎么想、怎么做的基本研究思路。

環節2：分組展示項目研究預案

各組到講臺前展示并說明自己組的預案，其他組進行提問。各組在展示預案時，要體現怎么想、怎么做的基本過程。

環節3：項目研究預案的調整

通過各組預案的展示和討論，通過逐步篩選辨析，大家覺得下面兩個組的方案比較好。

小組A：我們認為，要想知道籃球和籃球圈的大小有什么關系，可以從數據出發去思考并解決，用工具軟尺先分別測量出籃球和籃球圈的周長，然后通過對兩個數的比較，算出籃球和籃球圈的大小關系。

小組B：我們認為，籃球和籃球圈的大小應該有一定關系，這個關系可以通過數據測量計算得到。但我們還思考：為什么會有這個關系？其他關系可以嗎？為此，我們想通過不同大小籃球圈和不同大小籃球的投籃，通過命中率的收集與分析得出更有說服力的聯系。

教師見學生基本已經對本次項目式學習的研究內容有了一定的了解，但還不是很清晰，于是，教師伺機進行引導：這兩個小組從不同的角度思考得到了不同的方案，都非常好。第1個小組站在數據關系角度去思考設計，這雖然是我們大多數數學項目式學習的常用思維，但確實能夠發現一些現象本質。而第2個小組，不僅想得到結論，還想追問結論后面的緣由。其實，通過剛才展示討論，同學們已經逐步清晰了“籃球圈的秘密”項目式學習主要研究的兩大內容：1.籃球圈的秘密，即目前我們采用的籃球圈和籃球大小的關系；2.“秘密”的緣由，即我們為什么采用這樣的關系，是否可以有其他不同的關系替代。

在此基礎上，教師引導學生對這兩個小組的方案進行整合優化，形成一個項目式學習的研究方案（如下）。

“籃球圈的秘密”項目式學習研究方案

第一步：用軟尺先分別測量出籃球和籃球圈的周長，然后算出籃球和籃球圈的直徑和面積的大小關系。

第二步：用“同圈異球”和“同球異圈”兩種方式進行投籃命中率的數據收集和比較，進一步探討為什么我們日常籃球比賽會采用上面第一步得出的關系。

【感悟與思考】

常規的數學教學往往比較重視解答現有的數學問題，即課本上已經經過數學處理的問題。學生只要按照學會的解題方法，一步一步地去解決就可以了。在不斷反復操作下，學生雖然能熟練地掌握各種題目的解題技能、技巧，但一碰到實際生活，特別是項目式學習這種開放度較高的學習方式時，往往顯得不知所措，無從下手。項目實施方案的設計是項目式學習成功的重要環節。本次項目案例采用了先分小組進行開放式預案的設計，然后通過小組展示說明和其他小組質疑提問等方式不斷深入，最后結合該項目內容特點，制訂統一的實施方案。這種從開放式預案到統一性方案的過程是項目式方案制訂的較好路徑，也是比較適合小學生開展數學項目式學習制訂方案的一種方式。

三、項目研究的實施

以8人小組為單位，按照上面的統一研究方案，分場地進行實施。然后進行小組展示。（教師可以為學生開展研究活動提供必要的材料支持）

四、項目研究的展評

每個小組派兩名代表進行展示，主要展示實踐過程及得到的數據和結論。其他小組進行比較和提問，評選優秀展示小組。

環節1：“籃球和籃球圈的直徑和面積大小關系”的研究成果匯報。

小組A匯報：

我們小組采用軟尺去測量周長的方法，分別得到以下測量結果（注：籃球周長是指它的最大截面圓的周長；籃球面積是指它的最大截面圓的面積，下同）：

通過上面數據，我們得到：籃球直徑大概是籃球圈直徑的54.67%，也就是一半稍微多點?；@球最大的截面面積約是籃球圈面積的30%。

教師伺機進行引導：剛才幾個小組展示了他們第一步的研究結果，看到這幾組同學的結論，你們想說什么？

生1：為什么他們的數據都不一樣，到底哪一組比較準確？

生2：我發現雖然他們的數據不一樣，但結論其實差不多，都是籃球周長約是籃球圈周長的一半多一點；而籃球最大的橫切面面積是籃球圈面積的30%左右。

師：對于生2的發現你們同意嗎？

生：同意。

師：通過不同方式的測量雖然數據不太一樣，但結論比較接近，我們都發現了籃球圈的秘密：籃球最大的橫切面面積約是籃球圈面積的30%。為你們的發現點贊。

師：那么，剛才生1提到的，你們有什么想說嗎？

生：這個其實我們以前也經歷過，雖然大家測同一條線段、同一個角，但往往全班同學測量的結果會有很多種。我覺得這可能是測量時的誤差導致了結果不一樣。

師：她說的你們同意嗎？（生表示同意）

師（追問）：那么這幾個小組，你們覺得哪個小組的結果更精確一點？為什么？

生：我覺得網絡查詢得到的數據應該更精確點，因為這些數據往往是專業人員測量出來的。

師（小結）：在思考籃球和籃球圈的大小有什么關系這個問題時，有的小組采用了實際測量，有的小組通過網絡查詢資料的方式，都得到了籃球和籃球圈的相關數據，并通過數據發現了籃球和籃球圈大小的關系，給了我們數據上的更直觀感受。剛才討論時說用工具實際測量會產生比較大的誤差，確實我們剛才也看到幾個小組的結果不一致，有的相差還比較大。那么實際測量是不是就一定不好呢？其實實際測量只要操作得好，不僅能夠得到精確的數據，還能夠培養我們認真、細致、規范的品質。當然，我們有時也可以向剛才這個小組的同學一樣，充分利用資料檢索的方式，通過檢索得到我們需要的數據，但也需要考證數據的真實性與準確性。

環節2：“同圈異球”和“同球異圈”兩種方式投籃命中率研究成果匯報。

在這一環節的研究中，教師為學生提供了以下材料：在“同圈異球”的實踐中，采用了同一規格標準籃球圈，并分別選取標準籃球、5號足球、皮球，它們與籃球圈的面積占比分別為30%、23%、10%。在“同球異圈”的實踐中，我們采用標準籃球投籃，而籃球與三種籃球圈的面積占比分別為50%、30%、10%。通過學生的分組實踐，具體結果如下。

小組A匯報：

我們小組對“同圈異球”和“同球異圈”兩種方式進行投籃命中率的數據收集，8位同學每人都分別投了5次，具體命中率結果如下表：

根據命中率計算我們發現：無論是“同圈異球”還是“同球異圈”，命中率隨著球與籃球圈的面積占比大小而改變，占比越大命中率越低，占比越小命中率越高。

小組B匯報：

我們小組對“同圈異球”和“同球異圈”兩種方式進行投籃命中率的數據收集，5位同學每人都分別投了5次，具體命中率結果如下表：

我們的發現跟前面這組差不多，無論是“同圈異球”還是“同球異圈”，命中率隨著球與籃球圈的面積占比越大命中率越低，占比越小命中率越高。同時我們還發現，這個規律大部分同學是這樣，但有些同學不是這樣。

小組C匯報：

關于方案第二步用“同圈異球”和“同球異圈”兩種方式進行投籃命中率的數據收集，我們小組經過商議，選取組內日常投籃命中率特別高、中等、較低的3個同學作為代表來投籃，分別是表格中的生1、生2、生3。因為老師以前說過，在選取樣本的時候，要具有代表性。投籃命中率在日常就差異很大，如何得到具有代表性的數據，投籃的人也要有代表性。我們小組3位同學每人都分別投了10次，具體命中率結果如下表：

研究結論：通過表格中的數據我們可以發現，在“同圈異球”中 ，當占比為23%時，命中率隨之有變化，但不是很大。但當占比為10%時，命中率明顯提升。這個現象在“同球異圈”的實踐中依然如此，當占比為50%時，看似提高不多，但命中率急劇下降，但當占比為10%時，命中率明顯提升。這個現象在平時水平特別高的生1身上也許不明顯，但在平時水平較低的生3身上差異顯著。以上是在我們六年級學生身上，如果放到大人身上，占比的細微變化也許命中率就會有大的變化。因此我們認為，國際通用的籃球與籃球圈面積占比為30%具有一定的道理。

教師小結引導：剛才幾組匯報結論都差不多，但具體實施時還是有差異的，有的小組8個人都投了，有的5個人，有的才3個人，有的投了5個，有的投了10個。你們覺得都可以，還是哪一組比較好？

生1：我覺得都可以，因為從這幾組結論看，都差不多。

生2：我覺得第3組比較好，他們雖然只選了3個人，但這3個人具有很強的代表性。

生3：我同意剛才同學的意見，第3組的比較好，第1組雖然樣本大，但不一定科學。第3組雖然樣本小，但比較科學。剛才我看到第2組匯報時，有時候單個同學的命中率變化并沒有符合我們的結論，甚至相反。有可能是這個同學本身投籃命中率非常不穩定。

師：剛才幾個同學講得都很有道理。確實，在研究的時候，我們不僅要注意樣本的數量，還要注意樣本的代表性。在這次的研究中，日常投籃命中率會對我們的測量結果乃至結論產生很大的影響。假如某個小組，平時都不是很喜歡籃球，投籃命中率都極差，那有可能導致命中率全部為0，那么對結論的推導就失去意義了。

師（追問）：剛才我們都同意合理的樣本數和樣本代表的典型性，會使得到的數據在差異上和說服力上更強，同時，得到的結論也增強了可信度。剛才第3小組只選了3名代表，分別投了10次，是否夠了？如果不夠，我們可以怎么做？

同學們被老師這么一問，都紛紛陷入沉思，并且爭論開了。

生1：投10次還不夠，可以投50次。

生2：我覺得不行，1個人投太多后面命中率會越來越差。

生3：我覺得我們幾個小組都可以模仿第3小組的方式，都選3個有代表性的，都投10次，然后把各個小組的數據匯總在一起，這樣，樣本數和樣本代表性都兼顧到了。

【感悟與思考】

項目式學習有助于知識在數學中應用、在生活實踐中得以驗證、得以完善，有助于學生實踐能力、創新能力等的培養。但對于小學生而言，其自身儲備的數學知識還比較少，數學思維能力還比較弱，對像這樣比較復雜的項目式學習本身具有畏懼情緒。因此，在日常的數學項目式學習實施后的評價中，我們不能過于關注結果正確與否，而要關注學生在項目式學習過程中的參與度、思維度。特別要關注學生在開展項目式學習時采用的方法，因為研究方法的合理選擇及運用是今后開展研究性學習的基礎能力。本項目學習過程中，教師非常注重研究方法的評價。比如前面方案設計時是采用工具實物測量周長的方法，但有的小組采用了網絡檢索數據的方法，教師在討論中一方面給予肯定，同時也引導學生思考實際測量和網絡檢索兩種方法的各自功能。在實施方案第二項研究中，教師在肯定前面幾組的匯報時，對考慮投籃學生樣本代表性選擇的小組進行了重點點評和肯定。這樣更側重研究方法的評價應成為學生數學項目式學習的重要方向。

（浙江省嘉興市輔成教育集團 314000）