發現規律：讓數學學習更簡單

沈利明

【摘要】《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：推理是數學的基本思維方式，也是人們在學習與生活中經常用到的思維方式。小學階段是學生打好數學基礎，初步了解數學學科特點并掌握相關計算能力和數學邏輯能力的一個階段。

【關鍵詞】應對 本位 借題而推

一、學生推理現狀審視

1.“懂”與“不懂”的現象探問

在教學中，我們總喜歡問學生“懂不懂”“會不會”，學生異口同聲回答“懂”“會”，但是一到做作業或者考試時總是會出現令人不太滿意的結果。學生認為：上課認真聽，看到了，聽懂了，就學會了，學習任務就完成了。特別是低年級學生在做數學題時總是充滿信心，認為把習題做完了，認真檢查了，就什么都會。實際上，他們認為的“懂”只是在大腦里有短暫、淺表的印象，這不是“懂”，更不是“理解”。只是學生自己認為的“懂”。

2.“有序”與“無序”的鐘擺現象

從幼兒園進入小學，學生心理從無所約束的天真感知，邁向接受為主、相對受約束的導向認知。數學不僅僅是爸爸媽媽和孩子嬉戲時的一種符號，而是實實在在的抽象。學生需要將自己對世界的感知與數學的符號、數學的語言聯系起來，在這個過程中他們還缺少理解數學語言的能力，還缺少從生活世界中感知數學的能力，更缺少用數學的眼光和思想分析世界的能力。兒童的認知特點之一就是從簡單想起，但是，兒童的思維又是跳躍性的，特別是剛入學的兒童，無所約束的直覺感知，可以說成“無序”。在這里“序”經常會被忽略。

二、兒童推理策略的實踐探尋

1.借“境”而讀，順應認知的特點

小學生一開始對數學的認知和理解就是從歸納開始的，順應學生認知特點不可或缺。教材給低年級學生提供豐富的形象畫，架起了數學和生活之間的橋梁。但是這樣的畫面和學生看到的圖畫書不完全一樣。對于學生來說，也許一張圖就是一個故事，一片想象，但是數學上的圖缺少了色彩的襯托，不利于學生天馬行空地想象，這時數學教師的責任就是引導學生用數學的方法去“讀”這些畫面。比如，在認識數“0”時，課本出現以下圖例。

學生學習時一般很難關注到兔子背后的數字世界。這時需要教師引導：“4只兔子一起采蘑菇，第一只小兔非常開心，因為它采到了3個蘑菇，那其他小兔呢？”學生因教師引導開始有序地讀出圖片后隱藏的數，2個、1個、1個也沒有。這樣的數學語言引導，讓學生很快觀察到了原本沒有關注到的數字世界，從而自然而然地結合自己原有經驗和圖的意思，理解了“0”其中的一個意義——一個都沒有。感知數字世界是學生學習數學的起點，讓學生在開始閱讀題目內容時就會注意圖片文字背后隱藏的數字，感受到數字表達的意思，這就消除了他們數學學習的障礙。

2.借“圖”而想，集聚歸納的過程

兒童以形象思維為主，小學數學教材中大量采用了猜想、歸納等推理方法。學生為獲得事物的一般屬性，必須在觀察、實驗、猜想等過程中投入更多的腦力活動。教師借助例題圖，根據事物之間的內在聯系，鼓勵學生大膽展開聯想，讓學生在不完全歸納中聚集腦力能量，提升學生的推理能力。數學世界和現實世界最大的不同就是表達上的不同，數字和圖形都是抽象的結果。從學生認數開始，抽象就展開了。如在一年級“認識圖形”的時候，學生僅僅通過“長方體”“正方體”“圓柱”等文字和抽象化的數學圖片很難對這些圖形形成正確牢固的感知。

這時候，教師引導學生：“我看到黃色的長方體，想到了我家里的柜子”，學生馬上可以模仿教師的話語展開想象，邊看圖，邊說出想象的結果“想到家里的餅干盒是長方體”“我的玩具魔方是正方體”，等等，此時學生對課本中圖片的關注就不僅僅停留在書本顯示的內容，而是會與生活中的感知結合在一起，認識到課本上的圖形就是對具有相同特點的生活中物體形狀的總結。這種無法言喻的溝通就是抽象思想的基礎，是滲透推理意識最關鍵的知識生長點。

3.借“題”而動，轉換思維的方式

能力的提升不是一蹴而就的，它不同于知識與技能，需要學生通過自主感悟、體驗規律以及思考等方式獲得。而感悟只有在數學活動中自主體驗才會更加深刻，促進能力進一步提升。因而教學活動必須為學生提供探索空間，并把學生推理能力的培養作為培養的首要任務，只有這樣才能從“應對”真正走向學生“本位”。

如認識“幾和第幾”，這一內容主要是幫助學生區分“幾”和“第幾”的不同意義，是基數與序數的知識范疇。“幾”表示一共有多少，而“第幾”指的是事物的順序，是其中的某一個。看似簡單的描述，學生卻很難理解。為了激活教學內容，在課堂實踐中，教師組織了學生模擬類似的買票情境，學生們特別投入，學習積極性很高。在表達的過程中，學生都能用“幾”和“第幾”反映出位置的變化，更能體驗到“幾”和“第幾”是不同概念。在活動過程中，結合學生自己對畫面的閱讀和理解用數學的語言表達出來。在課本的內容中變化是顯現不出來的，通過現場模擬活動，將原本的文字或圖片活化，學生自然就有了“動”的資源，數學本質的變化就通過“題動”而顯現出來。

4.借“字”而思，類比事物的屬性

兒童對于具體事物屬性的感覺只是基礎，并不能讓他們完全了解此類事物的一般屬性。現實世界中的數量關系往往有其自身的規律，用文字來敘述刻畫的這種數量關系也會有分析、判斷和推理的過程。這是一個經歷觀察、猜想、歸納、證明的過程，更是一個既有合情推理又有演繹推理的過程。學生對于文字理解上的缺失主要是生活經驗相對較少，這就需要教師在教學中幫助學生構建文字與生活實際間的聯系，讓文字的意思顯現出來為學生建構文字的理解模式。隨著文字的理解，學生就能產生應有的情境想象，能第一時間幫助學生解決問題。如在蘇教版一年級下冊中有這樣一道習題：

（1）玲玲養了30條，兵兵又送給她10條，玲玲現在有多少條？

（2）玲玲養了30條，送給兵兵10條，玲玲現在有多少條？

第1小題是“兵兵送給玲玲”結果是增加了，而第2小題是“玲玲送給兵兵”，結果是減少了，兩題都有兩人之間的“送給”行為，但結果截然相反。教師讓學生讀題后，用小棒代替“兵兵”擺一擺，學生在操作中感受“兵兵”送給別人與別人送給自己后的數量變化，這樣，數量關系理解起來就比較容易了。學生從已知到未知的推理過程，深入探尋，類比出兩道題有內在聯系和有規律性的性質，最終歸納判斷出結論，真正推動學生對數學本質的深入理解。

5.借“思”而想，概括出合理推斷

嚴謹是數學學科的基本特點，無論是數學結論還是推斷過程都需要邏輯性，推斷必須建立在數學研究對象的準確分析及概括的基礎上。由此，對于數學研究對象的分析及概括也決定著學生推理能力的高低。來自于生活中的數學問題其文字表達往往是生活化的，但是解決問題卻需要數學化的理解，低年級學生將生活化的語言進行想象加工，才能正確理解問題的本質，才能運用相應的數學方法去解決問題。下面圖例是一道與生活問題有關的題目，敘述的是一個釘紐扣的過程。如果學生簡單讀出題目的意思，而不能產生數學化的聯想，那么解決它只能是一種對數學的簡單感覺。

教師在教學中需要結合學生的初讀，引導學生將問題數學化：“同學們想一想，這個過程具體是怎么操作的？”“就是在每件衣服上釘上5顆紐扣。”學生一般這樣回答，教師追問：“那么這個過程和數學上的什么過程很相似呢？你會把問題換一種說法嗎？”學生在這樣的啟迪下就會慢慢產生正確的聯想：這不就是平均分嗎？把33顆紐扣，平均5顆分給一件衣服。可以分多少件？還剩多少顆？學生這樣的結合想象的轉化，將問題直接指向了用除法解決的平均分問題。讓學生在學習的過程中形成數學思考的習慣。這是一種基于審題思考之后的想象，將數學知識有針對性地運用到生活情境中。學生通過讀題思考與想象的結合，把數學問題生活化，從而理解必要的過程和關系，也可以將生活問題數學化，找到相應的解決問題的模式和方法。學生在解決問題過程中，通過分析概括，進行合理判斷。

在現實生活中很多活動能有效地發展人的推理能力。人們在日常生活中需要經常作出判斷和推理，許多生活問題中也隱含著推理的要求，要讓學生自主感受和感悟生活，并用數學眼光來觀察思考。數學學習離不開推理思考，對于低年級學生來說，教師可以幫助他們通過習題思考，讓他們一開始就接觸數學的世界，從應對考試逐步走向本位，具有推理意識，同時，幫助他們理解問題的數學本質。