向思維更深處漫溯

楊繪

【摘要】在數學教學中，練習是不可或缺的部分。如果把數學學習看作整體“1”，那么練習無可非議應占其中的50%以上。練習可以達到消化、鞏固數學知識，掌握數學技能和發展數學思維的作用，也是學生掌握知識的重要過程。

【關鍵詞】思維 練習 舉一反三

仔細審視數學教材中的練習題，不僅有及時鞏固新知，幫助內化的部分，適時地還穿插了一部分有很大提升空間的練習題，讓學有余力的學生思考。而作為數學教師的我們，不僅可以通過練習獲得學生學習的信息，而且可以有效利用好練習題，幫助學生思維發展與深化，現結合教學實例具體加以闡述。

一、舉一反三——給思維“增溫”

數學教材中的練習題，很多時候只是給我們提供了一些范例，如何從這些范例中找到相應的思維點，給學生更廣闊的思維空間，這需要教師對知識進行“舉一反三”的重組，從而讓學生在步步緊逼的思維進程中感悟和收獲。

【案例：蘇教版數學三年級下冊《長方形和正方形》】

在學習長方形和正方形的知識后，一般會安排如下的練習題，讓學生體悟面積和周長之間的“變”與“不變”。

1.體會“等”與“不等”，讓思維“保溫”

生：這兩塊地的面積不相等，但是周長相等。

追問：你是怎樣知道的呢？

生1：從圖上可以看出一塊地大，一塊地小，所以面積不相等。

生2：我也從圖上看到，蘿卜地的周長是長方形的一條長加一條寬，再加中間一條曲線，白菜地的周長也是一條長和一條寬再加中間一條曲線。所以它們的周長相等。

一些學生聽后點頭表示同意，還有一些學生則有些茫然。

于是，教師把菜地圖案抽象成下面的圖形：

師：你能分別指一指蘿卜地和白菜地的周長嗎？

這道練習題通過比較長方形土地中兩塊菜地的周長和面積，讓學生進一步深化對周長、面積意義的理解。練習中，大部分學生都能從圖上直觀地看出蘿卜地的面積大一些。但是，對于兩塊地的周長的比較存在一些困難。讓學生在直觀圖上指一指兩塊地的周長后，學生很自然地明確了兩塊地的周長相等。

2.體會“變”與“不變”，給思維“加溫”

如果教學只單純停留于上一階段的學習，那么所獲得的知識以及學生思維水平只是淺顯和低層次的。為了拓展對周長、面積的認識，可繼續往下走：

師：這種情況下，兩塊地的周長和面積又有什么關系？

生：兩塊地的周長相等，面積也相等。

師：你是怎樣想的？

生：這兩塊地的面積都是長方形面積的一半，所以相等。它們的周長都是一條長和一條寬還有一條直線。

師：這兩幅圖有什么不同？

生：只是中間的那條線變了，其他都沒發生改變。

師：是的，這條線起到了重要的作用，因為它的位置不同，引起了兩塊地面積的變化。但是兩塊地的周長都是長方形的一條長、一條寬和這條線，所以周長相等。

師：請你想一想，怎樣畫中間這條線段，就能讓兩塊地的面積不相等，周長也不相等？

學生看著黑板上已有的兩幅圖陷入了思考……漸漸地有人舉起了手。

師：大家可以在本子上試著畫一畫。

師：請你來向大家介紹一下。

生：在這張圖中，蘿卜地的周長大。因為蘿卜地從白菜地那里霸占了一小段過去。

大家都會意地笑了，“霸占”用得真好。

我繼續追問：蘿卜地霸占了哪一段呢？你能在圖上指一指嗎？

學生輕而易舉地找出了被霸占的那一段，也就理解了為什么蘿卜地的周長更長了。

對于一題多變的拓展練習，學生運用畫圖的策略展開了生動而深刻的數學思考，教師引導學生進行對比，分析習題中知識和方法中存在的內在聯系，有效地提升學生的數學思考力。

充分利用教材中的練習題進行“舉一反三”，讓學生的思維不僅僅局限于基本習題，而且能從一題延伸到相關類型題目的解答方法，促使學生的思維不斷深入，加深對所學知識的理解，培養良好的思維品質。

二、兩種教法——給思維“設疑”

蘇霍姆林斯基說過：“能夠把少年‘拴在你的思路上，引著他們通過一個個階梯走向知識，這是教育技巧的一個重要特征。”練習課教學往往是對新知的延續和補充，對學生來說缺乏足夠的吸引力。課堂上，教師如果能嘗試不同教學方法，以此吸引學生的注意力，激活思維，相信一定會有不一樣的收獲。

【案例：蘇教版數學五年級下冊《分數的意義和性質》】

約分。

【片段一】

提問：觀察這些分數，在約分時有沒有小技巧。

學生沉默了，過了一段時間，有個別學生舉手發言。

【片段二】

師：同學們已經會約分了，下面我們就來個三分鐘約分比賽。

追問：觀察一組分子和分母有什么特征，約分有什么技巧？

稍加思考后，學生們一下子了然了，積極表達的欲望高漲。

生1：分子和分母有倍數關系時，小的數就是他們的最大公因數，分子和分母同時除以最大公因數就可以約成最簡分數。

生2：分子和分母都是11的倍數，直接用11來約分。

生3：分子和分母都是整十數，或是整百數，同時去掉相同個數的0，再約分。

生4：分子和分母沒有這些特殊關系，在約分時我們可以逐一去找一找分子和分母有沒有公因數2、3、5、7……應用以前學習的2、3、5的倍數的特征，可以提高我們約分的速度！

在片段一的教學時，只是簡單地按照教材的呈現方式來展開教學，將所有的分數都混淆在一起，需要學生進行分類整理，再發現具有不同特征的分數在約分時的技巧，這對于絕大部分學生來說是相當困難的，所以課堂上教師提問后學生沉默了。在片段二的教學中，教師對分數進行了分類整理，列出了較為典型的具有同一特征的分數，學生從練習感悟—思索規律—恍然大悟，感受到了學習數學的樂趣。

只要教師善于尋找練習背后的精彩，有效展開教學，就能讓學生既有的思維碰撞，又能品嘗成功的喜悅，練習課同樣鮮活、靈動、充滿情趣。

三、適時改變——給思維“增色”

在練習課時，用足用好每一道練習題，明確每一道習題的作用和功能，顯得尤為重要。教學中，教師還可對教材里的習題做適當調整、補充、拓展，讓課堂走向開放，讓學生的思維之花不斷激發，知識不斷深化。

【案例：蘇教版數學五年級下冊《簡易方程》】

下表中的a、b、c表示3個連續的自然數。任意寫出三組這樣的數，并求出各組數的和。

（1）觀察上表，你有什么發現？在小組里交流。

（2）你會用含有b的式子表示a或c嗎？表示a、b、c的和呢？

（3）如果3個連續自然數的和是99，你能列方程求出這3個數各是多少嗎？

這一練習有一定的難度，但這也是一個值得拓展的內容。如果運用得當，能激起學生的探究欲，尋找到規律所在，還能由此推導出其他相似的結論。在教學時，根據班級實際對練習進行拓展和重組。

師：觀察上表，你有什么發現？在小組里交流。

在學生討論的時候教師適當提示：這3個數與它們的和有什么關系？

有三個小組迅速得出了結論：3個連續的自然數，中間一個數乘3，就是它們的和。

其中有一位學生還精彩地舉例論證了自己的結論：4、5、6，只要從6里拿出1給4，另兩個數就變得和中間一個數一樣大了，所以就可以用中間一個數乘3就行了。實際上她沒有求和再除以3求平均數，而是通過移多補少來想的，更加簡潔，易理解。經她這么一解釋，再看看自己的例子，學生們一下子就明白了。有了移多補少的知識鋪墊，學生只要想所舉例子的幾個數的大小關系就可以了。于是教師趁熱打鐵，馬上問道：除了3個連續的自然數，還有哪些數也可能得出這樣的結論？這一問，立即激發了學生的興趣。他們猜測：

“4個連續的自然數，中間一個數乘4就是這4個數的和。”

“5個連續的自然數，中間一個數乘5就是這5個數的和。”

“3個連續的奇數，中間一個數乘3就是這3個數的和。”

“3個連續的偶數，中間一個數乘3就是這3個數的和。”

“3個連續的素數，中間一個數乘3就是這3個數的和。”

“3個連續的合數，中間一個數乘3就是這3個數的和。”

……

接下來，請四人小組任意選一個猜想舉例論證。

小組成員有序、快速地活動起來。不久，教室安靜下來，孩子們興奮地舉起了手，他們已經有滿意的答案了：

生1：奇數個連續的自然數，中間的數乘個數等于它們的和。

生2：不一定非要連續的自然數，只要每相鄰兩個數的差相等就可以啦。

生3：奇數個連續的數，任意兩個相鄰數只要差相等，中間的一個數乘個數就等于它們的和。

多么令人驚喜的發現啊！他們由自然數聯想到奇數、偶數，甚至聯想到中學將要學習的等差數列，既有思維的廣度，又有思維的深度。教育家皮亞杰說：“兒童是具有主動性的人，所教的東西，要能引起兒童的興趣、符合他的需要，才能有效地促使他的發展。”數學教材是適合一般學生的學習內容，它不可能顧及每個學生的認知發展水平。事實上，由于受生活環境、學習條件等多種因素的影響，不同班級、同一班級不同學生的智力發展水平不盡相同。所以，教師可從學生的認知層面進行多方面的思考，對練習內容進行重組，讓練習點燃每一個學生的智慧火花，滿足每一個學生的求知欲。

數學課堂中的練習，如果只是對新知識的重復講解、機械再做，學生會失去學習興趣，思維能力無法得到提高。教師要從練習內容出發、從目標入手進行整體設計，積極調動學生的學習熱情，引領學生的思維向更深處漫溯，讓學生滿載一船的收獲，在數學世界里快樂放歌。

【參考文獻】

[1]蘇霍姆林斯基.給教師的建議[M].北京：教育科學出版社，2016.

[2]陸志娟.在數學練習中發展思維能力[J].教學研究，2016（1）.