注重算法的形成過(guò)程，促進(jìn)運(yùn)算能力的有效發(fā)展

劉才軍

【摘要】運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。運(yùn)算能力不僅僅指會(huì)算和算正確，還包括對(duì)于運(yùn)算的本身要有理解，比如運(yùn)算對(duì)象、運(yùn)算的意義、算理等。

【關(guān)鍵詞】運(yùn)算能力 過(guò)程 發(fā)展

【研究的問(wèn)題】

《筆算乘法》一課是三年級(jí)上冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，它是筆算乘法的起始課，是學(xué)生第一次學(xué)習(xí)用列豎式的方法來(lái)進(jìn)行乘法運(yùn)算，它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了口算整十、整百數(shù)乘一位數(shù)和口算兩位數(shù)乘一位數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。

筆算乘法是小學(xué)階段非常重要的一種運(yùn)算，人教版新教材對(duì)筆算乘法的學(xué)習(xí)安排了兩個(gè)階段，第一階段是三年級(jí)學(xué)習(xí)多位數(shù)乘一位數(shù)的筆算乘法，第二階段是四年級(jí)學(xué)習(xí)多位數(shù)乘二位數(shù)的筆算乘法。至于多位數(shù)乘三位數(shù)或更多位數(shù)的筆算乘法教材沒(méi)有進(jìn)行再安排，主要原因是筆算乘法的算理和計(jì)算模型大同小異，學(xué)生在掌握了多位數(shù)乘二位數(shù)的筆算方法的基礎(chǔ)上能夠遷移類(lèi)推出來(lái)。而要能夠?qū)崿F(xiàn)方法的遷移類(lèi)推，關(guān)鍵在于學(xué)生學(xué)習(xí)筆算乘法時(shí)能深刻體驗(yàn)算法的形成過(guò)程，在此過(guò)程中理解筆算乘法的算理，建立清晰的筆算乘法的計(jì)算模型。而在實(shí)際教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象，學(xué)生對(duì)于算法的程序化演算掌握比較熟練，但當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)乘數(shù)位數(shù)增加時(shí)的筆算乘法時(shí)，會(huì)出現(xiàn)遷移類(lèi)推的困難，遷移類(lèi)推多位數(shù)乘多位數(shù)的筆算方法就更加困難了。究其原因，主要是學(xué)生沒(méi)能在算法的形成過(guò)程中深刻理解算理，沒(méi)有算理的支撐，算法只是模仿、程式化的演算。如何讓學(xué)生更好地體驗(yàn)算法的形成過(guò)程，在理解算理的基礎(chǔ)上自然形成算法，從而提高學(xué)生運(yùn)算能力，這是我們一直在研究的問(wèn)題。

本案例旨在通過(guò)研究，在深入細(xì)致分析發(fā)掘教材內(nèi)涵與外延的基礎(chǔ)上，科學(xué)合理地處理和加工教材，精心設(shè)計(jì)好數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，探尋如何讓學(xué)生更好地理解算理、在理解算理的基礎(chǔ)上如何對(duì)算法進(jìn)行抽象概括，建立筆算乘法的計(jì)算模型，為后續(xù)筆算乘法的學(xué)習(xí)作好鋪墊，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算能力的有效發(fā)展，改變重運(yùn)算輕能力發(fā)展舊常態(tài)，確實(shí)落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

【實(shí)踐描述】

一、課前問(wèn)卷調(diào)查

本著實(shí)事求是、因材施教的原則，特設(shè)計(jì)了課前學(xué)情調(diào)查問(wèn)卷，以了解學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。共設(shè)計(jì)了3道題目，第一題旨在了解學(xué)生口算乘法的掌握情況。第二題是開(kāi)放題，設(shè)計(jì)目的有二，其一，本題可以算法多樣化，旨在了解學(xué)生的方法選擇情況；其二，重點(diǎn)在于了解學(xué)生用口算的方法時(shí)列式的情況。第三題旨在了解學(xué)生對(duì)筆算乘法的最原始的理解，了解學(xué)生在沒(méi)有教學(xué)筆算乘法時(shí)其掌握的情況。

1.口算

14×2= 23×3= 12×4= 134×2=

2.想一想：23×3=（ ）

相信每位同學(xué)都能計(jì)算出23乘3積是69，那這個(gè)結(jié)果是怎么得到的？請(qǐng)把你的計(jì)算方法寫(xiě)出來(lái)。

3.你聽(tīng)過(guò)或見(jiàn)過(guò)列乘法豎式來(lái)計(jì)算乘法嗎？如果你認(rèn)為你會(huì)，請(qǐng)?jiān)囍胸Q式計(jì)算下面的題目，如果不會(huì)，此題可以不做。

21×4=

我們從兩個(gè)實(shí)驗(yàn)班級(jí)中分別選取了平時(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)處于不同層次的20名學(xué)生參加問(wèn)卷調(diào)查，比較典型的問(wèn)卷如下：

從這些問(wèn)卷中可以看出：

1.從第一題的答題情況可以看出：口算的正確率很高，說(shuō)明口算的技能訓(xùn)練較好。課后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了訪(fǎng)談，了解他們的口算方法，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的口算方法和結(jié)果是對(duì)了，但“134×2=”的算理卻表達(dá)不清，這說(shuō)明學(xué)生對(duì)乘法的算理理解不夠，遷移類(lèi)推能力不足。

2.從第二題的答題情況看：極少部分學(xué)生用連加的方法計(jì)算，絕大部分學(xué)生都是用口算的方法來(lái)計(jì)算，說(shuō)明大部分學(xué)生頭腦中已經(jīng)完成了算法的優(yōu)化，且口算的算理理解較好。

3.從第三題的答題情況看：有20%的學(xué)生能列出標(biāo)準(zhǔn)豎式計(jì)算并能正確計(jì)算，說(shuō)明筆算乘法對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)并不完全是一無(wú)所知；有35%的學(xué)生能列出豎式但計(jì)算方法不正確，只把個(gè)位上的數(shù)相乘，十位上的數(shù)直接抄下來(lái)，說(shuō)明學(xué)生受到了加、減法豎式的計(jì)算方法的負(fù)影響；還有45%的學(xué)生沒(méi)有做。

二、精研教材

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)新教材的編排如圖：

教材給出了四種算法。口算乘法前一課剛剛學(xué)習(xí)，通過(guò)擺小棒，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法直觀地幫助學(xué)生理解了口算的算理，所以本課并沒(méi)有出現(xiàn)擺小棒的方法。本節(jié)課是在學(xué)生充分理解了口算乘法的算理的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，重點(diǎn)是讓學(xué)生能根據(jù)算理正確列乘法豎式計(jì)算，初步建立列乘法豎式計(jì)算的模式。而疊加加法豎式計(jì)算是根據(jù)乘法的意義來(lái)計(jì)算的，通過(guò)與乘法豎式的對(duì)比，能幫助學(xué)生理解筆算乘法計(jì)算的算理，溝通加法與乘法的關(guān)系。虛線(xiàn)框中的列豎式計(jì)算（下文叫“初始”豎式）則是根據(jù)口算乘法的算理與算法來(lái)計(jì)算的，它是學(xué)生理解筆算乘法算理和抽象算法的重要資源，就像一座橋梁，把學(xué)生已學(xué)的口算乘法與新知筆算乘法建立起了聯(lián)系，通過(guò)對(duì)比會(huì)發(fā)現(xiàn)它們的算理其實(shí)一樣，只是換了一種記錄形式而已。“標(biāo)準(zhǔn)”豎式計(jì)算是“初始”豎式的簡(jiǎn)便寫(xiě)法，通過(guò)與初始豎式的對(duì)比，進(jìn)一步理解每一步乘的意義。

三、精心設(shè)計(jì)關(guān)鍵教學(xué)環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)

（一）活動(dòng)二：自主探索——經(jīng)歷算法的形成過(guò)程

師：同學(xué)們，計(jì)算加法咱們可以列成豎式來(lái)筆算，其實(shí)乘法也可以列豎式來(lái)筆算，咱們這節(jié)課就來(lái)學(xué)習(xí)列豎式計(jì)算乘法，也就是“筆算乘法”（板書(shū)課題）

1.獨(dú)立嘗試：23乘3該怎么筆算呢？老師告訴你一個(gè)秘密，其實(shí)呀，筆算的計(jì)算道理和口算的計(jì)算道理是一樣的，動(dòng)手試一試吧！

2.小組交流：勇于思考和嘗試就會(huì)有驚喜！瞧，大家都試著列出了自己的乘法豎式，那你的豎式是怎么列的？又是怎么算的呢？接下來(lái)就帶著這兩個(gè)問(wèn)題在小組內(nèi)輕聲地交流交流。

[設(shè)計(jì)意圖]尊重學(xué)生的個(gè)性差異，讓學(xué)生自主嘗試計(jì)算，特別注意尋找“初始”算法，為“標(biāo)準(zhǔn)”算法做好鋪墊。教學(xué)過(guò)程體現(xiàn)先學(xué)后教，以學(xué)定教的教育理念。

（二）活動(dòng)三：算法對(duì)比——溝通算法聯(lián)系

師：咱們一起來(lái)曬曬自己的筆算方法，老師找到了兩個(gè)不同豎式（見(jiàn)下圖），有請(qǐng)第一種算法的同學(xué)先到黑板上來(lái)給大家講講，先說(shuō)說(shuō)你的豎式是怎么列的，再說(shuō)說(shuō)你是怎么算的。

生1：先寫(xiě)23，再把3寫(xiě)在3的下面。

師：也就是對(duì)齊個(gè)位。

生1：先算3×3=9，寫(xiě)在個(gè)位，再20×3=60，寫(xiě)在下一行，再把兩個(gè)積加起來(lái)。

師：比較列豎式計(jì)算的方法和口算的方法，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生2：計(jì)算方法其實(shí)是一樣的，只是寫(xiě)法不一樣。

生3：列豎式寫(xiě)起來(lái)更簡(jiǎn)單！

生4：……

師：同學(xué)們說(shuō)得都很有道理，我也發(fā)現(xiàn)了他們的計(jì)算道理完全是一樣的。怎么一樣呢？我們一起來(lái)瞧瞧（見(jiàn)下圖）。其實(shí)呀！這里只是把3步計(jì)算過(guò)程在一個(gè)豎式上完成了！

師：咱們?cè)賮?lái)看一看第二種算法，有請(qǐng)第二種方法的同學(xué)上臺(tái)當(dāng)小老師，講一講你的想法。

生1：……

師：咱們來(lái)比比這兩個(gè)豎式，它們有什么不同呀？

生1：第一個(gè)豎式加了60，第二個(gè)豎式?jīng)]有加60。

生2：第一個(gè)豎式有加，第二個(gè)豎式?jīng)]有加。

生3：第一個(gè)豎式更復(fù)雜，第二個(gè)豎式更簡(jiǎn)單。

生4：第一個(gè)豎式的20×3等于60，第二個(gè)的20×3等于6。

師：第一道豎式3乘十位上的2積寫(xiě)成了60，第二道豎式3乘十位上的2積寫(xiě)成6，為什么可以這樣寫(xiě)呢？

生5：十位上的2乘3等于6個(gè)十，把6寫(xiě)在十位上就是表示6個(gè)十，6個(gè)十也就是60（連線(xiàn)見(jiàn)下圖），所以他們的答案是一樣的。

師：聽(tīng)你們一說(shuō)，老師也明白了，十位上寫(xiě)6表示的就是6個(gè)十，也就是60，十位上的6和個(gè)位上的9合起來(lái)就相當(dāng)于60加9了。

師：那兩種筆算方法你更喜歡哪種？為什么？

生：第二種，因?yàn)楦?jiǎn)單！

師：都喜歡第二種嗎？看來(lái)簡(jiǎn)單就是一種美。

師：咱們用筆算的方法也能計(jì)算出了23乘3的積是69，那劉虹一天跑的路程就是69千米了，69千米那可是相當(dāng)于從于都到贛州的路程了，如果是我們步行的話(huà)，要走十幾個(gè)小時(shí)呢！你現(xiàn)在知道劉虹奪冠的秘密了吧？

生：陽(yáng)光總在風(fēng)雨后，優(yōu)秀的成績(jī)都是用汗水換來(lái)的，我要向她學(xué)習(xí)這種刻苦努力堅(jiān)持不懈的精神。

[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)二次對(duì)比，由易到難，由舊到新，層層遞進(jìn)，最終抽象概括出一般方法。第一次“初始”豎式與口算乘法的計(jì)算方法進(jìn)行對(duì)比，通過(guò)一一對(duì)應(yīng)連線(xiàn)的方法讓學(xué)生直觀地感受列乘法豎式計(jì)算的算理與口算的道理是一樣的，只是把三步計(jì)算過(guò)程列成了乘法豎式，初步感受乘法豎式的計(jì)算方法。第二次“標(biāo)準(zhǔn)”豎式與“初始”豎式的對(duì)比，溝通兩者之間的聯(lián)系，理解標(biāo)準(zhǔn)豎式乘的每一步的意義，讓學(xué)生清楚理解60在位值制下可以只在十位上寫(xiě)6，使學(xué)生明白“為什么與十位上的數(shù)相乘的積要寫(xiě)在十位的下面”的道理。

【反思和啟示】

運(yùn)算能力作為學(xué)生核心素養(yǎng)的重要組織部分，新課程對(duì)其進(jìn)行了明確定義：“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。”培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。運(yùn)算能力不僅僅指會(huì)算和算正確，還包括對(duì)于運(yùn)算的本身要有理解，比如運(yùn)算對(duì)象、運(yùn)算的意義、算理等。本案例的研究正是基于以上認(rèn)識(shí)來(lái)展開(kāi)的，既要讓學(xué)生掌握怎么算，還要讓學(xué)生理解為什么這樣算，怎樣選擇合適的方法算，著重提升學(xué)生的運(yùn)算能力，使學(xué)生的核心素養(yǎng)得到有效發(fā)展。通過(guò)本案例的研究，我們所得到的反思與啟示有如下幾點(diǎn)：

1.本課例的設(shè)計(jì)注重了學(xué)生自主探索的過(guò)程，充分展現(xiàn)了學(xué)生思考，突出了學(xué)生的主體。

新課程提出學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，要讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生與形成過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中獲得知識(shí)與技能，感悟思想，積累經(jīng)驗(yàn)，從而落實(shí)“四基”。為了讓每一位學(xué)生都有充分探索用筆算的方法計(jì)算的過(guò)程，本課是在用學(xué)過(guò)的疊加法和口算方法計(jì)算后，再提出讓學(xué)生用筆算方法嘗試進(jìn)行計(jì)算的要求，保證了每一位學(xué)生有充分的時(shí)間與空間進(jìn)行自主探索。這樣的安排既體現(xiàn)了以生為本和先學(xué)后教的教育理念，又展現(xiàn)了學(xué)生對(duì)筆算乘法真實(shí)初始的想法，生成了“初始”豎式，為后面學(xué)習(xí)“標(biāo)準(zhǔn)”豎式提供了寶貴的學(xué)習(xí)資源。

2.本課教學(xué)通過(guò)方法比較，能有效溝通各種算法之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生理解算理。

本課共生成了四種算法，對(duì)這四種算法共進(jìn)行了兩次比較：第一次比較“初始”豎式與口算乘法之間的聯(lián)系，通過(guò)連線(xiàn)直觀建立豎式乘的每一步與口算每一步的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生感悟列豎式計(jì)算的算理與口算的算理相同，列豎式計(jì)算只是把三步口算寫(xiě)成了豎式的形式。第二次比較“初始”豎式與“標(biāo)準(zhǔn)”豎式之間的關(guān)系，緊緊扣住3乘十位上的2的積來(lái)進(jìn)行討論。討論在“初始”豎式中積是寫(xiě)作60，在“標(biāo)準(zhǔn)”豎式中積是寫(xiě)作6，是什么道理。通過(guò)討論，學(xué)生借助數(shù)位說(shuō)明了其中的道理——6寫(xiě)在十位上表示的就是60，從而實(shí)現(xiàn)了兩種豎式的歸一，順利實(shí)現(xiàn)了從“初始”豎式的算法的認(rèn)識(shí)過(guò)渡到“標(biāo)準(zhǔn)”豎式的認(rèn)識(shí)。通過(guò)這種關(guān)系鏈的遞進(jìn)對(duì)比學(xué)習(xí)方法，有效地溝通了新舊方法之間的聯(lián)系，明白了為什么這樣算，理解了乘的每一步的意義及書(shū)寫(xiě)位置，為后面學(xué)習(xí)筆算乘法奠定了基礎(chǔ)。

3.深入鉆研教材，做到教材處理到位而不越位，是提高教學(xué)實(shí)效的重要保證。

要設(shè)計(jì)好一節(jié)課，必須扎實(shí)教材鉆研工作，摸清知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)識(shí)起點(diǎn)。本課的一個(gè)重點(diǎn)就是幫助學(xué)生理解算理，因此教師要善于選擇多種方式幫助學(xué)生理解算理。常用的理解算理的方式有實(shí)物原型、直觀模型、已有知識(shí)等，本課既可以用小棒的直觀模型，也可以用已有知識(shí)。到底用哪種？還是兩種一起用？通過(guò)分析教材發(fā)現(xiàn)，其實(shí)在前一課口算乘法學(xué)習(xí)時(shí)就用小棒幫助學(xué)生理解，顯然本節(jié)課不再需要用直觀模型，只要用已有知識(shí)來(lái)解釋就可以了，所以本節(jié)課直接從口算乘法作為教學(xué)的起點(diǎn)，直接進(jìn)入筆算乘法的探索，有效地提高了課堂教學(xué)實(shí)效。

4.練習(xí)的精心設(shè)計(jì)促成了計(jì)算方法的內(nèi)化與形成，有效地提高學(xué)生的運(yùn)算能力對(duì)于運(yùn)算的道理有所理解后，還需要學(xué)生對(duì)使用的方法進(jìn)行再熟悉，以達(dá)到內(nèi)化。基于此原則，概括出算法并沒(méi)有安排在教學(xué)例題的時(shí)候，而是放在了鞏固練習(xí)第一題中。第一題既要鞏固兩位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算方法，同時(shí)也要類(lèi)推多位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算方法。經(jīng)過(guò)這樣的練習(xí)，學(xué)生對(duì)筆算乘法的算法起到了較好的內(nèi)化作用，最終水到渠成地對(duì)算法進(jìn)行抽象概括，形成筆算方法。為了更進(jìn)一步內(nèi)化算法，解決學(xué)生易漏乘十位和百位上的數(shù)這個(gè)問(wèn)題，還設(shè)計(jì)了一道專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)，專(zhuān)門(mén)訓(xùn)練學(xué)生填十位或百位上的數(shù)，學(xué)生很好地鞏固了和內(nèi)化了計(jì)算方法，提升了運(yùn)算能力。