康托集合論的錯誤的證據

四川省攀枝花市老年科技工作者協會 張喜安

一、康托集合論的錯誤的直接證據

康托集合論的基本觀點為一個無窮集合可以和它的一個真子集一一對應，部分可以和全體相等，這個觀點即為康托集合論的一個定理，為了指出康托集合論的錯誤的直接證據，現在將康托集合論的這個定理及其證明引述如下：

定理 令a，b為實數，且a＜b，則[a，b]的基數等于[0，1]的基數，即等于c。

證明 令 f（x）=a+（b-a）x，顯然 f為 [0，1]→[a，b]的一個雙射函數，這就證明了[a，b]的基數也是c。

康托認為上述定理的證明結果已經表明，一個無窮集合可以和它的一個真子集一一對應，部分可以和全體相等。但是，事實并非如此，我們下面的驗證將表明這一點。

令y=f（x）=a+（b-a）x，根據康托的上述定理，y=f（x）=a+（b-a）x為[0，1]→[a，b]的雙射函數，或者說，根據上述函數即可求出[0，1]→[a，b]的雙射函數，如果根據這個函數在一定的具體條件下得不到[0，1]→[a，b]的雙射函數，也就表明，這時[0，1]→[a，b]不存在雙射函數。

事實上，驗證康托集合論的上述定理的結果是否正確是一件很簡單的事情：根據函數y=f（x）=a+（b-a）x，并且令a=0，b=2，這樣，我們就可以根據兩種情況分別來驗證康托的上述定理是否正確。

首先，我們來驗證第一種情況，即[0，1]和[0，2]都在x軸上。根據康托求出[0，1]→[0，2]雙射函數的方法，根據函數y=f（x）=a+（b-a）x，則[0，1]→[0，2]的雙射函數應該是y=2x，但是事實上，在[0，1]和[0，2]都在x軸上的時候，顯而易見，函數y=2x并不是[0，1]→[0，2]的雙射函數，也就是說，在這種情況下，[0，1]→[0，2]就不存在雙射函數，因此，[0，1]和[0，2]只能是非一一對應的關系，而不可能是一一對應的關系。這也就是說，x軸上的集合[0，2]不可能和它的一個也在x軸上的真子集[0，1]發生一一對應的關系，這是一個客觀事實。這就驗證了康托的上述定理在這種情況下是錯誤的，因此，康托的這個定理就是錯誤的，康托集合論也就是錯誤的理論。而在[0，1]和[0，2]都在x軸上的時候，它們只能是非一一對應的關系的這個事實就是康托集合論的錯誤的直接證據。

現在我們來分析[0，1]在x軸上，而[0，2]在y軸上的情況，根據康托的函數y=f（x）=a+（b-a），顯然，y=2x為[0，1]的雙射函數，根據康托的理論，[0，1]和[0，2]為一一對應的關系。按照康托的觀點，[0，1]和[0，2]都是實數點的集合，并且[0，1]是[0，2]的真子集。根據上面的分析，在[0，1]和[0，2]都在x軸上的情況下，[0，1]和[0，2]是非一一對應的關系，而在[0，1]在x軸上，[0，2]在y軸上的情況下，[0，1]和[0，2]卻是一一對應的關系，這顯然是互相矛盾的，如果[0，1]和[0，2]是實數點的集合，上述矛盾根據康托集合論的理論就無法解釋，因此康托的觀點，即[0，1]和[0，2]是實數點的集合的觀點不能成立，唯一的解釋就是[0，1]和[0，2]是非實數點的集合。下面我們就根據我的論文“康托集合論存在的矛盾”和“超實集合論”中提出的超實數點和超實函數的理論給出，為什么康托關于[0，1]和[0，2]是實數點的集合的觀點是錯誤的以及為什么[0，1]和[0，2]一定是超實數點的集合，并且根據超實函數的理論給出康托集合論的錯誤的間接證據。

二、康托集合論的錯誤的間接證據之一

現在對超實數點和超實函數的理論簡單介紹如下：

超實數點、超實數點的集合和超實函數的定義：令X=x+dx為超實變量，則實變量x表示超實變量X在數軸上的位置，dx表示與超實變量X對應的點的性質（在這里，dx和微分的概念有本質的區別），dx為無限小量，它小于任意正整數但是不等于0，它的幾何意義為超實變量X在數軸上對應點的無限小長度。與超實變量X對應的點則為超實數點，與超實數點對應的集合則為超實數點的集合，與超實變量對應的函數則為超實函數。

根據上面的定義，如果有實變量y和x，則有超實變量Y=y+dy和X=x+dx；如果有實函數y=f（x），則有超實函數Y=y+dy=f（X）=f（x+dx），則 dy=f（x+dx）-y=f（x+dx）-f（x），于是有重要公式dy=f（x+dx）-f（x）。下面我們來分析這個公式：

在上述公式中，x表示超實數點X在數軸上的位置，dx表示該點的性質，根據上述公式，如果有實函數y=f（x），則y軸和x軸上點的性質就已經確定了，兩個數軸上的點是超實數點，而并非實數點。這就是前面我們為什么說，康托關于[0，1]和[0，2]是實數點的集合的觀點是錯誤的，而事實上，它們是超實數點的集合。再有，超實函數Y=f（x+dx），這時如果去掉dx，超實函數Y就轉變為實函數y=f（x），因此實函數f（x）是超實函數丟掉一個重要部分dx而得到的函數，從這個意義上看，實函數仍是一個失真函數。這樣，我們就有了和康托完全不同的對實函數的一個符合客觀事實的認識。相反，康托對實函數的認識是違背客觀事實的，后邊的論述將表明，這是造成康托集合論錯誤的根本原因。

根據以上超實數點和超實函數理論的簡介，我們來研究[0，1]在x軸上，[0，2]在y軸上的情況，根據康托的理論以及函數y=f（x）=a+（b-a）x，則y=2x為[0，1]的雙射函數，如果按照康托的觀點，在y=2x的條件下，[0，1]和[0，2]是實數點的集合，并且[0，1]是[0，2]的真子集，又存在y=2x為[0，1]的雙射函數，則[0，1]和[0，2]為一一對應的關系。這是否可以說，在這種情況下，康托的上述定理成立？我們說，不能，因為根據康托集合論的理論無法解釋為什么在[0，1]和[0，2]都在x軸上的時候，[0，1]不存在雙射函數，[0，1]和[0，2]是非一一對應的關系，這時，康托的上述定理不成立。再有，根據上面敘述的超實函數的理論得出的公式dy=f（x+dx）-f（x），在y=2x的條件下，dy=2dx。這表明，x軸上的點的性質和y軸上點的性質不同，因此，[0，1]不是[0，2]的真子集，也就是說，這時康托的上述定理不能成立。

通過對以上兩種情況的分析，康托的定理都不能成立，因此，康托集合論就是錯誤的理論。因為上述分析的結果是根據超實函數的理論得出的，因此我們把上述分析的結果叫作康托集合論的錯誤的間接證據。

三、康托集合論的錯誤的間接證據之二

康托是依靠一一對應的方法來研究兩個無窮集合之間的關系的。所依靠的理論基礎就是兩個集合間一一對應的定義。為了從理論的高度來認識康托的上述定義是錯誤的，現在將上述定義引述如下：

定義 如果存在函數y=f（x）為集合A的一個雙射函數，則集合A和B為一一對應的關系。

我在“數學大世界”雜志2017年5月上發表的論文“康托集合論為什么是錯誤的理論”一文中已經指出，在y=x的條件下，[0，1]和[0，2]是非一一對應的關系，而在y=2x的條件下，則[0，1]和[0，2]為一一對應的關系。根據康托的觀點，這時[0，1]和[0，2]為兩個實數點的集合，因此，它們不可能在一種條件下為一一對應的關系，而在另外一種條件下就為非一一對應的關系。針對上述情況可以認為，使用實函數是不可能正確判斷兩個實數點的集合是一一對應的關系，還是非一一對應的關系，或者說，針對上述的情況，可以認為康托的兩個集合間一一對應的定義是錯誤的。下面我們根據超實函數的理論來進一步認識康托的上述的兩個集合間一一對應的定義為什么是錯誤的。

根據超實函數的理論的重要公式dy=f（x+dx）-f（x），對于[0，1]和[0，2]，在y=x的條件下，dy=dx，令dy=dx=q，在這里，q為一個確定的無窮小量。在上述條件下，函數y=x已經決定了[0，1]和[0，2]上點的性質，并且也決定了兩個集合間點的性質之間的關系，在y=x的條件下，兩個集合的點的性質是相等的關系，根據超實函數理論的公式dy=f（x+dx）-f（x），在y=2x的條件下，則dy=2dx，這時，[0，1]和[0，2]上的點的性質則是不相等的關系。從以上分析可以知道，對于[0，1]和[0，2]在某個確定的函數y=f（x）的條件下，這個函數不僅決定了[0，1]和[0，2]上的點的性質，而且也決定了[0，1]和[0，2]之間的點的性質之間的關系，在不同的函數的條件下，上述兩個集合的點的性質是不同的，而且它們的性質之間的關系也不同。

要正確地判斷兩個集合是否為一一對應的關系，判斷的工具就不能決定或者改變判斷對象的性質。而康托的兩個集合間一一對應的定義，由于使用了實函數，就決定了或者改變了對象的性質，因此，康托的兩個集合間一一對應的定義，在上述情況下不可能正確地判斷兩個集合是否為一一對應的關系，因此，在上述條件下，康托的兩個集合間一一對應的定義就是錯誤的。而康托集合論的上述重要定理就是根據這個錯誤的定義證明的，因此康托集合論的上述重要定理的證明就不能成立，則康托集合論也就是錯誤的理論。這種間接的證據是在理論的高度上更深入地認識了康托集合論的錯誤的本質所在。