巧用數學模型，引發深度思考

江蘇省淮安市實驗小學 萬春紅

數學知識之間存在各種結構性的關系。教學實踐表明，將數學知識由點串成線，形成知識網絡，能讓學生更清晰、深刻地感知數學知識的本質。模型思想作為《課程標準(2011年版)》修訂新增的核心概念之一，揭示的就是數學對象內在的數學關系結構，它直接指向數學本質，抓住了數學最核心的部分。數學課堂中，重視建構數學模型，能引領學生的思維向縱深發展，促進學生對知識進行追本溯源的深度思考與探究。

一、建構數學模型的意義

建構數學模型，有助于學生知識結構化：學生的學習活動不是簡單地聽取和吸收教師授予的知識，而是通過已有的知識和經驗進行探究、碰撞，把握知識再加工的建構過程，從而把新知納入自己的知識體系中。數學模型能將學生散落的知識點穿珠成串，進而促進學生深入理解知識本質。建構數學模型，有助于學生思維走向深刻，同時，有助于學生探索能力的提升。

二、建構數學模型的實踐與探索

數學模型突出數學結構的形式化表達，注重對學生簡約化的理性思維訓練。數學教學中，如何引導學生經歷建模的過程，發揮模型思想在學生思維發展中的作用，下面簡述自己在教學中的實踐與探索。

1．在情境中初步感知數學模型

數學源于生活，用于生活，很多不同的生活原型中包含相同的數學模型，教學中，教師要善于尋找生活中與數學學習有關的素材，及時引入課堂，將學習內容通過生活情境的方式展示給學生，激活學生已有的生活經驗，讓他們感受其中隱含的數學問題，促使學生將生活問題抽象成數學問題，感知數學模型的存在。

如在教學《認識11～20各數》時，教師從教室里常用的“評比欄”引入，老師每表揚一次小朋友，就會在“評比欄”內為他貼一個“笑臉”。當學生得到的“笑臉”個數太多，格子不夠用時，怎么辦呢？學生思考交流后，教師出示辦法：當“笑臉”個數滿十個，就把它們換成一顆“大拇指”。接著，數一數幾個小朋友分別得到幾顆“笑臉”。數的時候，學生會發現貼“大拇指”的格子數起來很方便。這個環節的設計初步讓學生感知10個一可以換成1個十。

接著，教師向學生介紹古人的石子計數法：數一個物體，就在地上放一塊小石子，當數量太多，小石子不夠用時，人們就用一個大石頭代替10個小石子，再一次讓學生感受到10個一換成1個十源于生活的需要。

兩次替換后，教師提出活動要求：“數出11根小棒，怎樣擺能一眼看出是11根？”學生有了前兩次替換的經驗，可能會很快想到可以把10根小棒換成一根大的。怎樣換呢？十根全部合到一起就可以了。學生可以初步感知：隨著數的數量逐漸變多，一一對應的計數方法過于煩瑣，因此，一個新的比“一”大的計數單位產生了，它表示“10個一”。這個教學過程呈現了概念逐漸發展、抽象的過程，學生的腦海里產生初步的模型：1個十可以替換10個一。

2．在數學活動中建立數學模型

新課標強調，數學教學要由重視“結果性”轉變為“結果性與過程性并重”。課堂教學中，教師要努力讓學生親歷知識的發生、發展過程，從而建構新的知識體系。

例如，在教學“認識長方形和正方形”時，探究長方形特征時，教師提出“長方形對邊相等怎么驗證？你有什么好的建議？”

師：請大家拿出課前準備好的工具，動手驗證一下。

生1：我是用測量的方法，先量出長方形的一條邊，再量出它的對邊，然后比較，發現長度相同。

生2：我是用折的方法，把長方形左右對折，兩條邊完全重合，說明長方形左右兩邊長度相等。把長方形上下對折，發現長方形上下兩條邊長度也相等。

師：我們通過量或折發現長方形對邊相等，那么長方形的角有什么特征呢？是不是四個角都是直角呢？你能驗證一下嗎？

本課中，學生借助長方形紙和尺子，自主探索驗證了長方形對邊相等，并把驗證長度的經驗模式應用到驗證角度，讓被動接受轉化為主動建構，經歷了自主探索、驗證猜想的過程，構建了數學模型。

3．在交流碰撞中完善數學模型

合作交流是《數學課程標準》提倡的有意義的學習方式之一。在數學活動中，學生會以已有經驗為基礎來建構對知識的理解，通過合作交流，傾聽別人的看法、教師的點撥，和自己的經驗、理解進行碰撞、交互，從而完善自己的知識體系。

例如，在教學《認識11～20各數》時，學生認識了10個一是1個十，初步感知先擺一捆，再擺1根，能一眼看出是11根。教師讓學生快速拿出12根小棒，鞏固“一個十”的模型，了解12里有1個十和2個一。

師：你還想擺出十幾呢？

師：告訴你的同桌，你是怎樣擺的？

匯報交流：

生1：我擺了13根，擺一捆，再擺3根。

生2：我擺了15根，一捆加5根。

生3：我擺了18根，先擺1捆，再擺8根。

……

學生列舉自己的擺法，師板書并追問：我們擺的這些數有什么相同的地方？同桌交流后，學生發現十幾就是一捆加幾根，“十幾”的模型已經清晰可見。估一估、數一數環節，數草莓時，學生估計可能有十幾個。師：怎樣能一眼看出是十幾個呢?擺小棒的方法在這里可以用嗎？通過教師點撥，學生很快想到數到10個的時候可以圈起來，這樣方便看出是十幾。

學生在交流展示、教師追問、點撥中，自己的經驗理解與他人的經驗相互融合，數的概念模型也得到了補充和完善。

模型思想的滲透是一個長期的過程，學生的知識模型是在一次次的數學活動中建立與發展，并不斷修正，完善。在教學活動中，要讓學生經歷知識的形成過程，并有意識地引導學生構建數學模型，讓學生的學習體驗經歷從模糊到清晰的過程，引發學生深度思考,從而提升數學素養。