例談導數應用常見的幾個誤區

湖北省武漢市八十一中學 方小蘭

導數是高中數學中一個重要的知識點，也是熱門考點之一。它在求極值或最值、求曲線的切線方程等方面有著廣泛的應用，同時也是解決數列、不等式等問題的必不可少的工具，可是同學們在平時的練習中經常出現誤區，下面結合實例逐一說明。

例1 （1）求函數 的最值。

誤區1：設函數 的導數 為0，則有 ，所以函數 在 處有最大值或最小值。

分析說明：函數 在某一點處有極值是這個函數在這一點處導數值為零的既不充分又不必要條件，所以誤區1直接由導數等于零來判斷函數有極值是錯誤的。事實上，該函數在定義域范圍內是嚴格單調遞增的，它沒有最大值和最小值。誤區2直接由函數在某一點沒有導數來判斷在這一點無極值也是錯誤的，顯然由函數圖象知該函數在處有極小值。

誤區3：利用導數求函數斜率，再由斜率得函數的傾斜角，混淆了斜率與傾斜角之間的關系。

分析說明：先求該函數的導數得 ，于是得出傾斜角 的范圍為這是錯誤的。事實上，函數在時斜率不存在，但是直線的傾斜角的范圍是 ，即傾斜角是可以等于所以 的取值范圍為

例3 求曲線 過點P（1，1）的切線方程。

誤區4：直接求函數導數得斜率，再由點斜式得出切線方程。

分析說明：沒有區分過點P的切線方程與在點P處的切線方程，事實上，在求過點P的切線方程時,點P可能是切點，也可能不是切點。正確的解法為：設過點P（1，1）的切線方程為因此所求的切線方程為 或者是。