一道“幾何概型”題目引發的思考

福建省莆田市秀嶼莆田第十中學 林振宇

對于一線的教師，我們要時常反思教學中學生出現的問題，及時反饋與改善我們的教學方式，盡量讓學生找到思維出錯的根源，才能更好地服務于我們的教學，提高課堂的時效性。

一、命題者的意圖反思教學

從表面看，命題者是考查幾何概型，實則有更深層次的意圖，如數形結合能力、化歸轉化能力、數據處理能力等。本題的第一個解題切入點很好入手，但之后的第二個切入點求區域面積問題著實很難。很多學生陷入如何求函數的原函數是什么這一節點，當然，有一定運算與思維能力的學生最終成功了，從考試反映的情況看，寥寥無幾。許多學生都在重點思考函數的原函數是什么而百思不得其解，忽視了一種整體思維方式。所以當個體思維出問題時，應當換整體思維。如哪個式子的導數中會出現lnx？對于平時運算中出現最多的是函數，從而找到解題的突破口。函數的導數為，所以構造函數在教學中，要教會學生如何形成思維，找到解題的切入點與突破口。作為一線教師，必須要能闡述到位，總結到位，有意識地滲透數學思維教學，有利于學生思維的拓展而避免生搬硬套。對于本題的另一思維是函數的對稱性問題。我們知道函數 的原函數難求，但是它的一個對稱函數的原函數卻很容易求得。是對x進行積分，能否轉化為對y進行積分：，這種考查方式在以往的高考中也有出現。雖然現在淡化了對反函數的考查，但是在指數函數與對數函數之間的互化上，還是有所涉及，畢竟這兩個函數體現了一種對稱性，同時也反映了逆向思維思想。

二、反思課堂例題的選擇與構造

在課堂例子的選擇上，應該遵循下列幾個原則：第一，拓展性原則。教學中所選的例子，應該讓學生的思維有拓展性，知識有延伸性與連續性。若教師教新課知識時，選擇的例子能夠以一個主干條件來層層遞進，把這節知識能夠考查的方式都盡量呈現出來，那么可以對學生思維進行拓展，達到牽一發而動全身的效果，也可以通過變式的方式來拓展學生的思維。第二，建構性原則。所謂的建構性，是能使大腦建構一種思維或形成一種條件反射，能夠讓學生較深刻地理解與掌握所涉及的知識與解題方法。例如，在講解一元二次不等式的解法時，其中較難的一塊是一元二次含參不等式的解法。我在講解時，就重點把握四個例子：這四個含參不等式基本涵蓋了我們后續高中所考不等式解法的所有思想。對于一元二次含參不等式的解法來說，還是立足于一元二次不等式的解法，重點是開口、與x軸的交點情況，再結合圖象考慮。當然還要解釋好為何我們要討論，討論的入手點或標準在哪里。那么反射到其他含參不等式的討論上，就轉化最高次系數，其他都不變。第三，啟發性原則。啟發性原則是基于例子要能啟發與警示學生可能會出現的錯誤。對于完善數學知識與概念的理解及解題的嚴密性來說，這樣的例子有很好的輔助作用。比如，我們在教集合這一章節時，空集是很特殊的集合，在解題時又時常被忽視，那么，列舉與空集相關的例子就很關鍵了。如：已知集合集合，求實數a的取值范圍。這樣的題目就告訴了學生，當一個集合未知時，就可能要考慮空集的情況。還有不等式在端點上的取值問題，有很好的借鑒與啟發作用。當然，針對不同的課堂，我們還要加上針對性、時效性、多樣性等原則。課堂例子是我們教學的重點，選擇時要有教師自己的思想與創造，切不可生搬硬套。

三、反思教與學的聯系

作為教師，我們有兩個職責，那就是“教什么”與“怎么教”。教師不能以本論教，教材有什么教什么，重難主次不分。教材中有顯性的知識與隱性的知識，顯性的是知識點，隱性的是思維，所以教師在處理教材知識時，既要理清整體與局部的互異性，也要把握整體與局部的聯系，同時，要對數學的概念與定理進行拓展與延伸，理清來龍去脈。定理公式的產生過程就是一種思維的形成，要給學生解析到位。比如在定積分的教學上，要有微分和極限的思維，講清“化整為零，以直代曲，積零成整”的思想方法，才能把定積分理解到位，在解釋定積分在物理中的應用及求旋轉體的體積時，就會事半功倍。

例：求曲線y=x2與直線x=1及x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉360度所圍成的幾何體體積。

解：先將幾何體分割成n等分，當n趨于正無窮大時，那么每一個幾何體都是圓柱，圓柱的高為dx，底面面積為，再把這些圓柱的體積加在一起就是

在高中階段，這樣的解釋，學生能夠簡單易懂，收效很好。

教師在平時的教學中，要善于觀察學生在解題時出錯的形態，認真思考教學時教師所授的知識與學生吸收的狀況，才能不斷地改進自己的教學方法，更好地做到有效課堂。同時，要落實自己教學任務的最有效手段之一，就是了解學生的問題，各個突破。