一個不等式恒成立問題的求解與思考

沈良

不等關系與相等關系是客觀事物的基本數量關系，是數學研究的重要內容，“數量、變量之間相等與不等關系”的研究成為數學學習的一個重要課題，不等式是一種數學表示形式，描述若干個量之間的不等關系，等式刻畫的是若干個量之間的相等關系，不等式作為刻畫不等關系的重要代表，如同方程是刻畫相等關系的重要代表一樣，是數學的重要研究對象，也因此，不等式恒成立條件下求參數取值范圍成為數學考查中的一類經典問題。

不等式恒成立問題歷來是高考的熱點和重點，以變量與參數共存的不等式為背景來考量學生能較好考查學生思維的靈活性、深刻性與辯證性，能較好考查學生的知識技能、思想方法與能力素質等，因此在每年的高考與模擬試題中這方面的問題也是精彩豐呈，下面，筆者就對新疆維吾爾自治區2017年普通高考第二次適應性檢測第21題，這個有關不等式恒成立條件下求參數值問題，從多樣解法、蘊涵幾何背景、滲透思想方法、知識拓展及教學啟示等角度進行探討。

1題意分析

分析本題第1小題為函數單調性的判斷，主要是求導后研究導函數取值的正負問題，同時（1）問又為（2）問做好熱身;第2小題條件中為一個不等式恒成立問題，求解的是a的所有可能的取值的集合，這也是本題的巧妙所在，與通常在不等式恒成立條件下求參數范圍不同，本題求解的是以的具體值，題目條件簡潔清爽，簡約而不簡單，蘊含多種解法，蘊含豐富幾何意義，解決本題需要學生有一定的分類討論能力、數形結合能力、推理論證能力及較好的計算能力等，很好體現了試題能力立意的的特點。

2解法探究

解法2分離參數法

對于不等式恒成立問題，我們自然還會想到分離參數法（或稱分離變量法）。

解法3數形結合法

對于不等式恒成立問題，我們自然還會聯想到轉化為兩個函數的圖象問題研究。

3教學啟示

（1）抓住知識本質教學

（2）融入數學思想方法

從上述問題的解決，可以看到，數學思想方法在問題解決中起著一種高屋建瓴的指導作用，如不等式與方程、函數的互化，實現了不等式的有效轉化;如運用數形結合的方法，實現“以形觀數”，直觀明了，特別是運用函數圖象解決不等式問題非常巧妙，簡化了許多計算;如轉化與化歸思想的應用，有效實現參變量分離，數學思想是知識的精髓，是方法的精神，是對知識與方法的高度概括與提煉，而數學方法是數學思想的具體化，是在數學的提出、解決數學內部問題或實際問題過程中所采用的各種方式、手段、途徑等，具有實踐性，若說數學方法是外顯的，那么數學思想可以說是內隱的，數學思想能更深刻地反映數學對象之間的內在關系，是進一步對數學方法的概括與升華，教學中，有機融入數學思想方法，有助于提升學生數學素養。

（3）宏觀與微觀相結合

數學教學要注重整體格局的把握，要注重將宏觀與微觀結合，宏觀是大的方向，大的背景，它是學生問題解決的總體思路，具體如思想方法的引導;微觀即是小的技巧，問題的切入點，問題解決細膩的處理，反映的是面對問題解決中不同的情境采用的方法，本題中，于教師而言不僅宏觀上需要知曉這三種處理方法，而且微觀上也需要掌握這三種處理方法應用的具體知識;于學生而言，因為有些知識超越了學生的認知能力，不妨點到為止，但宏觀上可以將上述方法2與方法3的思路與學生分享，不僅體現知識方法完整性，也體現數學的解法的多樣性和簡潔性，解題教學中，宏觀與微觀相結合，有助于學生厘清思路，把握問題本質。

參考文獻

[1]金雪根.抓住本質、突出主線、促進發展：例談關注數學學科本質的課堂教學[J].小學數學教師，2011（7）：87-98