一道零點存在問題的“不簡單”處理

張威威

零點存在性的判斷和零點個數的判定作為高考的重點和難點，在歷年的高考中都有體現，而通常的解決辦法主要是通過構造新函數借助于導數討論函數的圖象，但這種方法對于比較復雜的函數處理起來比較困難，而通過掌握一些常見的復雜函數的圖象有助于理解和解決函數的零點存在問題。

筆者所在的學校為省級示范高中，學生有較強的自主學習能力和計算機水平，在以往的學習中學生能夠熟練使用幾何畫板處理數學中的圖象問題，解決函數零點個數問題，主要方法有零點存在性定理和圖象法，本文主要借助于圖象法，直觀的呈現交點個數，借此掌握常見的幾類與指數函數相關的函數圖象，作為后期類似問題處理的基礎。

1模擬題簡介

該題綜合性較強，涉及到函數、導數、不等式等多個高中數學的主干知識，有助于提升學生的轉化與化歸、數形結合等思維水平，是學生平時訓練提升的優秀素材。

2學生解題分析

學生在解答中發現，解法1和解法2可以通過直接分析可得，但在解法3和解法4中由于構造的函數相對復雜，直接通過分析比較困難，所以學生就利用幾何畫板進行處理得到結論。

在本題的解答過程中，學生主要是利用導數分析函數的單調性與最值，本題中學生可以選擇構造多種函數，但不同的函數在單調性及最值的處理中難易程度不同，所以對于較難分析的函數可以引導學生在計算機的幫助下利用畫圖軟件，加深對這幾類函數的圖象的分析與理解。

3解題教學的幾點思考

筆者通過本題的教學，有以下幾點感觸：

（1）在解題教學中要摸準學情，把準學生的思維起點，對于一些常見的數學問題，學生與教師有著不同的認識，在平時教學中不要把一些方法直接灌輸給學生，要站在學生角度，沿著學生的認識規律，并結合教學的具體過程，引導學生變換角度看問題，提升思維能力和拓展思維空間，將此類問題的通法滲透給學生，從而提升學生的解題能力，提高課堂解題教學的效率。

（2）在解題教學中要重分析和比較，在此問題中可以使用分離參變量法轉換為最值問題，也可以直接構造函數轉化為交點問題;在平時的教學中要多分析、多比較，讓學生逐步積累解題經驗，當再次遇到類似問題時，可以獨立分析從而選擇最佳解決方案。

（3）在解題教學中要注重計算機軟件的應用，借助計算機為學生提供更直觀、更深刻的認識，這樣有助于加深理解，并能夠掌握常見函數的圖象。

參考文獻

[1]教育部.普通高中數學課程標準（2003版）[M].北京：人民教育出版社，2003

[2]崔志榮.以學生的思維為起點追求自然合理的解法——一道檢測題的方法教學與思考[J].數學通訊，2015 （11）： 43-47