評析2016年高考浙江理科第20題

2016年高考浙江理科第20題是以數列和不等式為載體，融函數、遞推、等價化歸等基本思想于一體，注重綜合考查學生的觀察、分析、猜想、推理論證等基本數學能力，對學生的思維能力提出了較高的要求，本文擬對此題的立意、解法、題源、拓展和教學啟示等方面作一探析，供讀者參考。

1試題呈現

立意分析 本題主要考查數列的遞推關系與單調性以及與不等式性質的聯系，同時還考查了學生的命題轉換、分類討論的數學思想方法以及推理論證能力、分析問題和解決問題的能力，該題的文字表述非常簡潔、流暢，設問層次遞進，數學內涵卻很豐富，給人一種簡約之中彰顯大氣的韻味，該題在經典的遞推數列問題中加入絕對值，并與不等式結合，從而挖掘出創新的設問，其深刻的數學思想更令人回味。

2解法研究

評析 此法解題所依據的數學基本思維活動經驗是“構造等比數列求通項公式的經驗或數列累加求和經驗”，當然也用到了絕對值三角不等式的性質，這種將“la_nl-2”看成整體構造等比數列的基本思維活動經驗大多數高三學生都有，解題的關鍵不是數學基本思維活動經驗的積累，而是數學活動經驗的遷移與運用，將其遷移運用在“等”到“不等”的新情境，引導和促進學生“再發現”“再創造”新知識，從而順利解決問題。

3題源追溯

解讀本題命制在延續浙江省往年命題風格的基礎上，構思精巧，別出心裁，題目不偏、不怪，題干簡約，入口寬泛，解答簡短，題中的數列以非線性遞推關系給出，富有一定的挑戰性，第（I）小題的證明思路主要有3條：思路1是證明an+1，一an與a2-a1（>0）同號;思路2是證明an<1;思路3是利用反證法，但第（Ⅲ）小題的解題思路卻相對單一，入口比較窄，得分較少，該小題的解題思路主要是利用放縮法，而放縮法正好是考生的軟肋，實際上，這一問題的解決關鍵是要利用好第（I）小題的結論an< an+1，拾級而上，

解讀本題是不等式與數列的完美結合，盡管運算量不大，但思維靈活，有較大難度，不僅考查了數列的遞推公式、單調性與不等式性質等基礎知識，同時考查了推理論證能力、分析問題和解決問題的能力，以及學生的數學素養、思想品質、學習潛能，

經典的遞推數列問題在浙江省數學高考解答題中反復出現，早些時候曾出現在2004年第22題、2005年第20題、2006年第20題、2008年第22題中，另外2015年也將遞推數列問題第20題作為整卷的最后一題，對于2016年浙江高考理科第20題，筆者總體感受是“題型穩、入口寬、坡度緩、立意精準、穩中有新、關注思維、凸顯能力”，在知識點考查、試題結構、材料選取、語言表述、命題立意、思想內涵等方面都呈現了這些特點.

4引申拓展

解題是一種創造性活動，作為數學的學習，積累一定的解題經驗對以后解題過程中快速提取信息應該是幫助很大的，而引申拓展則是解題經驗自覺積累的有效途徑.

5教學啟示

5.1注重雙基，關注重點知識塊

考試說明指出要考查基礎知識、基本技能和基本數學能力的掌握程度，因此，教師在教學中要注重通性通法，淡化特殊技巧，力求讓學生熟練掌握解決數學問題的常規方法，考試說明還提到“對于基礎知識，既要全面又要突出重點，對于支撐學科知識體系的重點內容要占有較大比例”，事實上，浙江卷近五年的高考五道大題從知識上看基本都是三角函數、數列、立體幾何、解析幾何與函數，因此，課堂中還是應該注重主要知識塊的教學，

對于以后的高考復習，不能因為高考題難度大，就專注于大量的難題訓練，而忽視基礎知識、基本技能和基本數學思想方法，特別是在一輪復習階段，要著力提升學生對數學基礎知識、基本數學概念的理解，以及對基本技能的訓練，熟練掌握一些常規數學問題的通性通法.

5.2注重滲透，提升數學核心素養

從閱卷的情況看，學生基礎知識、基本技能的掌握情況不容樂觀，主要表現為概念模糊、公式記錯、計算出錯、復雜運算不能轉化、分類不明、基本的解題書寫規范亟待改進。

平時教學中要注重反思、重視思維的滲透，善于揭示數學思想的本質，在培養學生的思維能力，提升學生數學核心素養上下功夫，教師在講解完某道題后需要給學生留出一定的時間去思考，去感悟其內在的數學解題思想，有一個消化并回味的過程，教師在課后也需要反思：怎樣教更高效。

5.3注重知識交匯，加深數列、不等式大題難度

一方面，數學學科的系統性和嚴密性決定了數學知識之間內在的深刻聯系，包括各部分知識的縱向聯系與橫向聯系;另一方面，近年浙江高考數學卷，選擇題量從10題減少到8題，總題量從原來的22題減少為20題，也就要求數學考查的內容更細致，所以在數學知識交匯處命題應運而生，以往浙江卷很少有交叉知識塊的大題出現，這是一次大膽的嘗試與創新，多年以來，數列與不等式均不是以壓軸大題出現，因此在之后的教學中，需要加深挖掘數列相關知識點的本源，加深數列知識點的難度。

參考文獻

[1]虞懿，張輝.從一道高考數列壓軸題說起[J].上海中學數學，2017 （1-2）：33-36