核心素養視角下離心率試題的命制與評價

李金聰

高中數學核心素養是衡量數學教育質量的標準，也是數學教育改革的指揮棒，它是指數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析六個方面的學科素養，數學核心素養包括三個方面、六個關鍵詞：用數學的眼光觀察世界，發展數學抽象、直觀想象素養;用數學的思維分析世界，發展邏輯推理、數學運算素養;用數學的語言表達世界，發展數學建模、數據分析素養，

離心率在橢圓、雙曲線問題中有著重要應用，它的變化會直接導致曲線類型和形狀的變化，有關求解橢圓、雙曲線離心率的試題，在歷年的高考中經常出現，此類試題體現基礎性、綜合性、應用性和創新性，本文僅以“圓錐曲線離心率的試題命制與評價”為例，談談“怎樣在試題命制過程中滲透數學核心素養的考查”和“怎樣用核心素養的觀點分析評價試題”。

1母題呈現

命題意圖考查雙曲線的定義和離心率的求解，滲透邏輯推理、直觀想象和數學運算等數學核心素養的考查。

小結求解橢圓或雙曲線的離心率問題，主要有三種方法：

試題評價 試題平和，貼近考生，難度中等，區分度高，符合《課標》和考綱要求，檢測功能強;“教、學、考”結合好，充分體現素養導向性，質量較高。

2變式命制

命題意圖考查橢圓的定義和離心率的求解，滲透邏輯推理、直觀想象和數學運算等數學核心素養的考查。

試題評價 預測難度0.60，適應學科成績中等考生，試題通過類比法命制，體現基礎性和應用性，試題設問及解答過程中涉及類比推理和數學運算等數學核心素養。

命題意圖 考查雙曲線定義和離心率的求解，滲透邏輯推理、直觀想象和數學運算等數學核心素養。

試題評價 預測難度0.65，適應學科成績中等考生或文科考生。試題的解答簡潔，是對于問題的本質認識，突出培養學生的分析和解決問題的能力，體現基礎性和應用性。

命題意圖 考查橢圓的定義、范圍、離心率、平面向量的數量積等基礎知識，考查數形結合、化歸轉化和函數與方程思想，滲透邏輯推理、直觀想象和數學運算等數學核心素養。

小結 求離心率取值范圍的關鍵是尋找不等關系，它涉及到解析幾何、平面幾何、平面向量、不等式等多個知識點，綜合性強，方法靈活，解題關鍵是挖掘題中的隱含條件（如曲線的范圍、平面幾何性質等），構造不等式，引領學生進行數學化的思考，心中有形，以數解形，心中有數，以形助數。

試題評價 預測難度0.55，適應成績中上考生，體現基礎性、綜合性和應用性，考查基本的數學素養。

命題意圖 考查橢圓的定義、離心率、焦點三角形的面積、三角函數或平面向量的數量積等基礎知識，考查考生的轉化與化歸、數形結合和函數與方程的思想以及邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養。

試題評價 預測難度0.45，適應成績優秀考生，因為圖形中蘊含著數量關系，以數解形，彰顯數學價值，體現基礎性、綜合性和創新性，法1聯想三角形面積，滲透函數與方程的思想;法2轉化為存在交點問題，滲透轉化與化歸的思想，開拓學生的解題思路，體現較高的數學素養。

命題意圖 考查橢圓的定義、離心率、三角函數、正弦定理等基礎知識，考查考生的轉化與化歸、數形結合思想以及邏輯推理、直觀想象、數學抽象、數學運算等核心素養。

試題評價 預測難度0.50，適應成績優秀考生，運用數與形結合的觀點去考慮“形向數”的轉化，借助正弦定理，化繁為簡，體現基礎性、綜合性、應用性和創新性。

命題意圖 考查雙曲線的定義、離心率、均值不等式等基礎知識，考查考生的轉化與化歸、數形結合思想以及邏輯推理、直觀想象、數學抽象、數學運算等核心素養。

試題評價 預測難度0.40，適應選拔高素質人才的需要，試題命制融合了解析幾何、平面幾何與均值不等式，體現基礎性、綜合性、應用性。

命題意圖 考查雙曲線通徑、離心率的應用和三角函數等基礎知識，考查數形結合思想、函數與方程思想，考查數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算、數學建模等素養，考查數學探究意識。

試題評價預測難度0.45，適應選拔高素質人才的需要，將解析幾何與平面幾何、三角函數交匯，突出考查數形結合思想和函數思想，體現基礎性、綜合性、應用性和創新性。

4命制與評價小結

北京師范大學林崇德教授說“核心素養具有可教、可學的外顯部分，同時也存在無聲、無形但可感、可知的內隱部分，前者能夠在特定的情境下通過一定的方式表現出來，因此能夠有效地對其進行定量的測評……”基于此，筆者在試題的命制過程中進行了嘗試，編制從分析圓錐曲線定義、圓錐曲線性質、平面幾何性質、三角函數和均值不等式等基礎知識出發，以素養立意命題，通過提煉數學思想方法，選擇合適的素材，經過多稿討論、辨析、修正，形成試題，通過測評后的反思，累積經驗，實現試題的命制目標。

求橢圓、雙曲線離心率的試題，小而活，體現新課程目標的精神，檢驗學生數學核心素養的達成情況，學生通過“考”、“評”、“研”，可以獲得進一步學習及未來發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，能夠提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，從中不斷學會用數學的眼光觀察世界，學會用數學的思維分析世界，學會用數學的語言表達世界，從而提高學生學習數學的興趣，增強學好數學的信心，逐步養成良好的數學學習習慣。